Questão 3. Prove que f(x)=2 x é uma função bijetora dos naturais nos números pares positivos.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=2x
com domínio os números naturais e contradomínio os números pares positivos. Vou explicitar exatamente o que temos e o que é pedido:
  • Dados:
    • A função f tal que, para todo x natural, f(x)=2x.
    • O domínio é \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} (assumiremos esta convenção para naturais).
    • O contradomínio alvo é o conjunto dos pares positivos \{2,4,6,\dots\}.
  • Pedido:
    • Provar que f é bijetora, ou seja:
      1. mostrar que f é injetora (elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes);
      2. mostrar que f é sobrejetora (cada número par positivo tem algum antecedente em \mathbb{N}).

Passo 2

O que significa provar injetividade — definição e estratégia:
  • Definição: Uma função f é injetora se, sempre que f(a)=f(b), então a=b.
  • Estratégia: assumir f(a)=f(b) para a,b\in\mathbb{N} e deduzir a=b usando álgebra simples.
Agora aplico isso à nossa função.

Passo 3

Prova da injetividade, passo a passo:
  • Suponha a,b\in\mathbb{N} e que f(a)=f(b).
  • Então, por definição de f, 2a=2b.
  • Podemos dividir os dois lados por 2 (porque 2\neq0 e estamos trabalhando com inteiros): a=b.
  • Conclusão: sempre que f(a)=f(b) obtemos a=b, portanto f é injetora.
Explicação extra curta: multiplicar por 2 é uma operação que preserva distinção entre inteiros — se dois produtos por 2 são iguais, os fatores já eram iguais.

Passo 4

O que significa provar sobrejetividade — definição e estratégia:
  • Definição: Uma função f\colon A\to B é sobrejetora se, para todo y\in B, existe x\in A tal que f(x)=y.
  • Estratégia: pegar um elemento genérico do conjunto dos pares positivos e construir explicitamente um x\in\mathbb{N} com f(x)=y.
Agora aplico isto ao nosso conjunto de pares.

Passo 5

Prova da sobrejetividade, passo a passo:
  • Seja y um elemento qualquer do conjunto dos pares positivos, isto é y\in\{2,4,6,\dots\}.
  • Por definição de “par”, existe k\in\mathbb{N} tal que y=2k.(Isto vem do fato de que números pares são exatamente os múltiplos de 2.)
  • Para esse mesmo k\in\mathbb{N} temos f(k)=2k=y.
  • Portanto, para qualquer y par positivo encontramos um k\in\mathbb{N} com f(k)=y. Logo f é sobrejetora.
Comentário prático: dividir um par positivo por 2 dá um natural (por exemplo, 6/2=3), então sempre há antecedente.

Passo 6

Construção da inversa e verificação (forma construtiva de ver a bijetividade):
  • A função inversa natural seria f^{-1} definida no conjunto dos pares positivos por f^{-1}(y)=\frac{y}{2}.
  • Verificações rápidas:
    • Para qualquer y par positivo, f(f^{-1}(y))=f\!\left(\frac{y}{2}\right)=2\cdot\frac{y}{2}=y.
    • Para qualquer x\in\mathbb{N}, f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x)=\frac{2x}{2}=x.
  • Essas igualdades mostram que f^{-1} é de fato a inversa à direita e à esquerda de f, o que caracteriza exatamente uma bijeção.

Passo 7

Conclusão final e motivação intuitiva:
  • Já provamos que f é injetora e sobrejetora. Assim, por definição, f é bijetora.
  • Intuição: f emparelha cada natural 1,2,3,\dots com o par 2,4,6,\dots na mesma ordem; não sobra nem falta nenhum par, nem há colisões — é uma correspondência “um a um e sobre” simples.

Resposta

A função f:\mathbb{N}\to\{2,4,6,\dots\} dada por f(x)=2x é bijetora.

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