Questão 3. Prove que
é uma função bijetora dos naturais nos números pares positivos.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
com domínio os números naturais e contradomínio os números pares positivos. Vou explicitar exatamente o que temos e o que é pedido:
-
Dados:
- A função
tal que, para todo natural, . - O domínio é
(assumiremos esta convenção para naturais). - O contradomínio alvo é o conjunto dos pares positivos
.
- A função
-
Pedido:
- Provar que
é bijetora, ou seja: - mostrar que
é injetora (elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes); - mostrar que
é sobrejetora (cada número par positivo tem algum antecedente em ).
- mostrar que
- Provar que
Passo 2
O que significa provar injetividade — definição e estratégia:
- Definição: Uma função
é injetora se, sempre que , então . - Estratégia: assumir
para e deduzir usando álgebra simples.
Agora aplico isso à nossa função.
Passo 3
Prova da injetividade, passo a passo:
- Suponha
e que . - Então, por definição de
, - Podemos dividir os dois lados por
(porque e estamos trabalhando com inteiros): - Conclusão: sempre que
obtemos , portanto é injetora.
Explicação extra curta: multiplicar por
é uma operação que preserva distinção entre inteiros — se dois produtos por
são iguais, os fatores já eram iguais.
Passo 4
O que significa provar sobrejetividade — definição e estratégia:
- Definição: Uma função
é sobrejetora se, para todo , existe tal que . - Estratégia: pegar um elemento genérico do conjunto dos pares positivos e construir explicitamente um
com .
Agora aplico isto ao nosso conjunto de pares.
Passo 5
Prova da sobrejetividade, passo a passo:
- Seja
um elemento qualquer do conjunto dos pares positivos, isto é . - Por definição de “par”, existe
tal que (Isto vem do fato de que números pares são exatamente os múltiplos de .) - Para esse mesmo
temos - Portanto, para qualquer
par positivo encontramos um com . Logo é sobrejetora.
Comentário prático: dividir um par positivo por
dá um natural (por exemplo,
), então sempre há antecedente.
Passo 6
Construção da inversa e verificação (forma construtiva de ver a bijetividade):
- A função inversa natural seria
definida no conjunto dos pares positivos por - Verificações rápidas:
- Para qualquer
par positivo, . - Para qualquer
, .
- Para qualquer
- Essas igualdades mostram que
é de fato a inversa à direita e à esquerda de , o que caracteriza exatamente uma bijeção.
Passo 7
Conclusão final e motivação intuitiva:
- Já provamos que
é injetora e sobrejetora. Assim, por definição, é bijetora. - Intuição:
emparelha cada natural com o par na mesma ordem; não sobra nem falta nenhum par, nem há colisões — é uma correspondência “um a um e sobre” simples.
Resposta
A função
dada por
é bijetora.