Achar domínio, contra-domínio e imagem das funções seguintes:
f(x)=+\sqrt{1-x^{2}}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a função f definida por f(x)=+\sqrt{1-x^{2}}.
  • Pede encontrar o domínio, o contra-domínio e a imagem dessa função.
    Observações importantes (dados explícitos): a expressão tem uma raiz quadrada principal (o sinal "+\" indica a raiz não-negativa) e nada mais sobre contra-domínio foi especificado no enunciado.

Passo 2

Entendendo o que significa “domínio” aqui e a condição de existência:
  • Domínio é o conjunto de todos os x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido como número real.
  • A raiz quadrada \sqrt{\cdot} está definida (no conjunto dos reais) somente quando o radicando é maior ou igual a zero.
    Logo devemos exigir a condição
1-x^{2}\ge 0.

Passo 3

Resolver a desigualdade \,1-x^{2}\ge 0\, passo a passo:
1-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 1.
A desigualdade x^{2}\le 1 significa que a magnitude de x é no máximo 1, isto é
|x|\le 1.
E isso equivale à forma intervalar
-1\le x\le 1.

Passo 4

Concluir o domínio a partir do passo anterior:
  • Portanto o domínio da função é o intervalo
\{x\in\mathbb{R}\mid -1\le x\le 1\} = [-1,1].

Passo 5

Agora vamos achar a imagem (o conjunto de valores realmente assumidos por f). Primeiro estabelecemos limites numéricos: para x\in[-1,1] temos
0\le 1-x^{2}\le 1.
Como a função raiz quadrada é monótona não decrescente sobre os não-negativos, ao aplicar \sqrt{\cdot} obtemos
0\le \sqrt{1-x^{2}}\le 1.
Isto mostra que todos os valores de f(x) estão no intervalo [0,1].

Passo 6

Mostrar que todos os valores em [0,1] são realmente atingidos (ou seja, a imagem é exatamente [0,1], não apenas contida): seja y qualquer número com 0\le y\le 1. Considere a equação
y=\sqrt{1-x^{2}}.
Elevando ao quadrado obtemos
y^{2}=1-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1-y^{2}.
Como 0\le y\le 1, tem-se 1-y^{2}\ge 0 e \sqrt{1-y^{2}} está bem definido; então x=\pm\sqrt{1-y^{2}} são pontos do domínio (ficam em [-1,1]) que produzem f(x)=y. Logo todo y\in[0,1] é imagem de algum x do domínio. Assim a imagem é exatamente [0,1].

Passo 7

Sobre o contra-domínio: se o enunciado não especifica contra-domínio, o costume é tomar o contra-domínio como \mathbb{R} (o conjunto dos números reais). Em muitos exercícios o professor pode declarar explicitamente o contra-domínio como \mathbb{R} ou como já sendo [0,1]; aqui adotamos o contra-domínio padrão \mathbb{R} e deixamos claro que a imagem efetiva é [0,1].

Resposta

Domínio: [-1,1]
Contra-domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,1]

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