Achar domínio, contra-domínio e imagem das funções seguintes:
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a função
definida por . - Pede encontrar o domínio, o contra-domínio e a imagem dessa função.
Observações importantes (dados explícitos): a expressão tem uma raiz quadrada principal (o sinal indica a raiz não-negativa) e nada mais sobre contra-domínio foi especificado no enunciado.
Passo 2
Entendendo o que significa “domínio” aqui e a condição de existência:
- Domínio é o conjunto de todos os
para os quais a expressão que define faz sentido como número real. - A raiz quadrada
está definida (no conjunto dos reais) somente quando o radicando é maior ou igual a zero.
Logo devemos exigir a condição
Passo 3
Resolver a desigualdade
passo a passo:
A desigualdade
significa que a magnitude de
é no máximo 1, isto é
E isso equivale à forma intervalar
Passo 4
Concluir o domínio a partir do passo anterior:
- Portanto o domínio da função é o intervalo
Passo 5
Agora vamos achar a imagem (o conjunto de valores realmente assumidos por
). Primeiro estabelecemos limites numéricos: para
temos
Como a função raiz quadrada é monótona não decrescente sobre os não-negativos, ao aplicar
obtemos
Isto mostra que todos os valores de
estão no intervalo
.
Passo 6
Mostrar que todos os valores em
são realmente atingidos (ou seja, a imagem é exatamente
, não apenas contida): seja
qualquer número com
. Considere a equação
Elevando ao quadrado obtemos
Como
, tem-se
e
está bem definido; então
são pontos do domínio (ficam em
) que produzem
. Logo todo
é imagem de algum
do domínio. Assim a imagem é exatamente
.
Passo 7
Sobre o contra-domínio: se o enunciado não especifica contra-domínio, o costume é tomar o contra-domínio como
(o conjunto dos números reais). Em muitos exercícios o professor pode declarar explicitamente o contra-domínio como
ou como já sendo
; aqui adotamos o contra-domínio padrão
e deixamos claro que a imagem efetiva é
.
Resposta
Domínio:
Contra-domínio:
Imagem:
Contra-domínio:
Imagem: