Questão 7. Prove que a multiplicação está definida para todos os pares de números naturais.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • O enunciado pede que se prove que a multiplicação está definida para todos os pares de números naturais.
  • Informações que vamos usar (hipóteses padrão que a questão pressupõe):
    • Existe o conjunto dos números naturais \mathbb{N} (com o sucessor e a propriedade de indução).
    • A adição está definida para todos os pares de naturais (ou seja, para todo a,b\in\mathbb{N} o número a+b\in\mathbb{N} existe e é único).
  • Objetivo preciso a provar: para todo a,b\in\mathbb{N} existe e é único um natural que se chama produto a\cdot b. Em linguagem lógica: provar que existe uma função \cdot:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N} tal que, para todos a,b\in\mathbb{N}, a\cdot b está bem definido (e, usualmente, satisfaz as regras recursivas que vamos definir).

Passo 2

Ideia do método (intuição antes da prova): multiplicação é “soma repetida”. Logo faz sentido defini-la recursivamente em relação a um dos fatores (por exemplo, o segundo): para qualquer a fixo, define-se
a\cdot 0 = 0, \qquad a\cdot (n+1) = a\cdot n + a.
Para tornar isso lógico precisamos mostrar duas coisas principais:
  1. Essa definição fornece, para todo a,n\in\mathbb{N}, um valor a\cdot n (existência).
  2. Esse valor é único — não há ambiguidade (unicidade).
    A ferramenta natural para esse tipo de prova é a indução em n (provar que para todo n a propriedade “para todo a, a\cdot n existe e é único” é verdadeira).

Passo 3

Enunciando a propriedade a provar por indução: para cada n\in\mathbb{N} consideramos a proposição
P(n):\\ \text{para todo } a\in\mathbb{N},\\ \text{o produto } a\cdot n \text{ existe e é único, e podemos tomar } a\cdot 0=0,\\ a\cdot (k+1)=a\cdot k + a.éú
Vamos provar P(n) para todo n por indução em n.

Passo 4

Base da indução ( n=0):
  • Tomar qualquer a\in\mathbb{N}. Definimos a\cdot 0 := 0.Pela hipótese (aditiva) sabemos que 0\in\mathbb{N}. Assim, para todo a existe um natural que serve como a\cdot 0.
  • Unicidade no caso n=0: se alguém propuser outro número x\in\mathbb{N} como a\cdot 0, a definição canônica exige que o produto com 0 seja 0. Portanto não há ambiguidade: a\cdot 0 é único e igual a 0.
Logo P(0) é verdadeira.

Passo 5

Passo indutivo: suponha P(n) verdadeira para algum n; isto é, suponha que para todo a\in\mathbb{N} o produto a\cdot n existe e é único. Vamos provar P(n+1): para todo a\in\mathbb{N} devemos mostrar que a\cdot(n+1) existe e é único.
  • Construção (existência): para um a fixo, pela hipótese indutiva sabemos que o número a\cdot n existe. Como a adição está definida para todos os pares, o número
    a\cdot n + a
    existe e pertence a \mathbb{N}. Definimos
    a\cdot (n+1) := a\cdot n + a.
    Assim, para qualquer a construímos um elemento de \mathbb{N} que serve como a\cdot(n+1). Isso prova existência.
  • Unicidade: suponha que exista algum outro y\in\mathbb{N} que também se pretende ser a\cdot(n+1) obedecendo à regra recursiva (isto é, suponha que haja uma construção alternativa que dá um número y tal que, segundo essa construção, y se obtém como x+a com x sendo o produto correspondente a a\cdot n). Pela hipótese indutiva, o valor de a\cdot n é único; pela unicidade da soma (adicionalmente assumida: soma de dois naturais é única), o valor a\cdot n + a é único. Logo qualquer candidato y deve coincidir com a\cdot n + a. Portanto a\cdot(n+1) é único.
Assim P(n+1) é verdadeira.

Passo 6

Conclusão pela indução: por indução em n, P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}. Ou seja, para todo n e para todo a existe e é único o produto a\cdot n definido recursivamente por
a\cdot 0 = 0,\qquad a\cdot (n+1)=a\cdot n + a.
Isso fornece, de forma consistente, uma função \cdot:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N} (tomando o segundo argumento como parâmetro de recursão). Além disso, um argumento análogo mostra que se houvesse qualquer outra operação que satisfaça as mesmas regras recursivas ela coincide com esta (unicidade da operação inteira), pois os valores coincidem para 0 e a igualdade é preservada pelo passo sucessor.

Passo 7

Resumo didático e reforço (como usar isso na prova):
  • Na prova da questão da prova final basta apresentar a definição recursiva e então aplicar indução no segundo fator n mostrando o caso base n=0 e o passo indutivo n\mapsto n+1.
  • A razão prática: para cada a fixo a multiplicação por a é construída passo a passo somando a repetidas vezes; a indução garante que esse processo atinge todos os n e não deixa ambiguidade.
  • Se em outro exercício pedirem para provar propriedades (associatividade, comutatividade, distributividade), pode-se usar novamente indução e a definição recursiva que acabamos de fixar.

Resposta

Para todo a,b\in\mathbb{N} existe e é único o produto a\cdot b\in\mathbb{N} definido recursivamente por a\cdot 0=0 e a\cdot (b+1)=a\cdot b + a.

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