Questão 8. Prove as seguintes propriedades preparatórias para a multiplicação. Lembre-se de utilizar a definição e os lemas já estabelecidos.
Prove que 0 \cdot b=0 para todo natural b.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que \;0\cdot b=0\; para todo natural b.
Informações / fatos previamente estabelecidos (que vou usar):
  • A definição recursiva da multiplicação (definição usada aqui) é, para todo a,b\in\mathbb{N}: a\cdot 0 = 0
a\cdot b' = a\cdot b + a
onde b' ou S(b) é o sucessor de b.
  • Lemas sobre adição já provados: 0 + x = x\quad\text{para todo }x\in\mathbb{N}.Em particular, tomando x=0 obtemos 0+0=0.
  • Princípio da indução matemática: para provar que uma propriedade P(b) vale para todo natural b, basta mostrar:
    1. P(0) (caso base);
    2. Para todo b, se P(b) então P(b') (passo indutivo).
Vou provar \;0\cdot b=0\; usando indução sobre b.

Passo 2

Caso base ( b=0).
Pelo primeiro item da definição recursiva da multiplicação, com a=0 e b=0, temos
0\cdot 0 = 0.
Logo o caso base está verificado.

Passo 3

Hipótese indutiva.
Suponha que para um natural arbitrário b vale a propriedade indutiva
0\cdot b = 0.
Essa é a hipótese que usaremos para provar o caso seguinte b'.

Passo 4

Passo indutivo: provar que 0\cdot b' = 0.
Pela segunda cláusula da definição recursiva da multiplicação (aplicada ao par (a,b)=(0,b)) temos
0\cdot b' = 0\cdot b + 0.

Passo 5

Aplicar a hipótese indutiva e os lemas da adição.
Pela hipótese indutiva 0\cdot b = 0, portanto a igualdade do passo anterior fica
0\cdot b' = 0 + 0.
Pelo lema da identidade aditiva sabemos que 0 + x = x para todo x; tomando x=0 obtemos 0+0=0. Assim
0\cdot b' = 0.

Passo 6

Conclusão por indução.
Mostramos o caso base 0\cdot 0=0 e o passo indutivo 0\cdot b \Rightarrow 0\cdot b'. Pelo princípio da indução, a propriedade vale para todo natural b. Ou seja, para todo b\in\mathbb{N} tem-se
0\cdot b = 0.

Resposta

\forall b\in\mathbb{N}\;,\;0\cdot b=0

Exercícios relacionados