Questão 8. Prove as seguintes propriedades preparatórias para a multiplicação. Lembre-se de utilizar a definição e os lemas já estabelecidos.
Prove que
para todo natural
.
Prove que
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que
para todo natural
.
Informações / fatos previamente estabelecidos (que vou usar):
- A definição recursiva da multiplicação (definição usada aqui) é, para todo
:
onde
ou
é o sucessor de
.
- Lemas sobre adição já provados:
Em particular, tomando obtemos . - Princípio da indução matemática: para provar que uma propriedade
vale para todo natural , basta mostrar: -
(caso base); - Para todo
, se então (passo indutivo).
-
Vou provar
usando indução sobre
.
Passo 2
Caso base (
).
Pelo primeiro item da definição recursiva da multiplicação, com
e
, temos
Logo o caso base está verificado.
Passo 3
Hipótese indutiva.
Suponha que para um natural arbitrário
vale a propriedade indutiva
Essa é a hipótese que usaremos para provar o caso seguinte
.
Passo 4
Passo indutivo: provar que
.
Pela segunda cláusula da definição recursiva da multiplicação (aplicada ao par
) temos
Passo 5
Aplicar a hipótese indutiva e os lemas da adição.
Pela hipótese indutiva
, portanto a igualdade do passo anterior fica
Pelo lema da identidade aditiva sabemos que
para todo
; tomando
obtemos
. Assim
Passo 6
Conclusão por indução.
Mostramos o caso base
e o passo indutivo
. Pelo princípio da indução, a propriedade vale para todo natural
. Ou seja, para todo
tem-se