Questão 9. Prove as seguintes propriedades fundamentais da multiplicação para quaisquer naturais
e
:
(Associatividade)
.
(Associatividade)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede-se provar a propriedade associativa da multiplicação para quaisquer naturais
, e , ou seja mostrar que
para todo
.
- Informações dadas (que usaremos como definição/hipóteses padrão para naturais):
- Multiplicação é a operação sobre naturais definida por recorrência (intuitivamente: multiplicação = soma repetida).
- As igualdades abaixo representam a definição recursiva de multiplicação:
válidas para quaisquer naturais . - Usarei também propriedades já estabelecidas da soma de naturais, em particular que a soma é associativa e que a soma respeita a igualdade (se
então ). Estas propriedades são usadas para rearranjar somas durante as contas.
Passo 2
Explicando as ferramentas que vamos usar (ideia e técnica).
- Intuição/definição:
significa somar por vezes. A definição recursiva acima formaliza isso: multiplicar por dá ; multiplicar por é multiplicar por e somar mais uma vez . - Método de prova: prova por indução no parâmetro
. Explico o princípio de indução que vou usar: - Base: mostrar a propriedade para
. - Passo indutivo: assumir que a propriedade vale para um natural
arbitrário (hipótese indutiva) e a partir disso provar que vale para .
- Base: mostrar a propriedade para
- Observação: durante a prova precisarei de uma identidade importantíssima (uma “ferramenta”): a distributividade da multiplicação em relação à soma no segundo fator:
para quaisquer naturais . Vou provar essa identidade primeiro, porque ela será necessária no passo indutivo da associatividade.
Passo 3
Lema (distributividade à direita). Provar que para todos
Prova do lema por indução em
.
-
Base (
): pela definição da soma. Epela definição da multiplicação () e pelas propriedades da soma ( ). Logo a igualdade vale para . -
Passo indutivo: suponha verdadeira a afirmação para um
arbitrário, ou seja suponha Queremos mostrar queComeçamos pela definição de soma/agrupamento:Pela definição recursiva da multiplicação no segundo fator,Aplicando a hipótese indutivaobtemos Usando associatividade da soma (que já temos) podemos reescreverMas pela definição recursiva da multiplicação novamente temos. Portanto que é exatamente o que se queria. Assim o passo indutivo está concluído.
Portanto, por indução em
, vale para todos
que
Passo 4
Prova da associatividade
por indução em
.
-
Base (
). Usando a definição da multiplicação pelo zero: eAssim. -
Passo indutivo: suponha que para um certo
arbitrário já vale Queremos provar queComeçamos calculando o lado esquerdo usando a definição recursiva:Aplicando a hipótese indutivaobtenho Agora calculo o lado direito:pela definição de multiplicação aplicada ao fator. Usando o lema de distributividade provado no Passo 3 com e , tenho PortantoComparando com a expressão obtida para o lado esquerdo, ambas são iguais a. Logo Isso completa o passo indutivo.
Pelo princípio da indução, a igualdade vale para todo
. Como
e
foram escolhas arbitrárias, vale para todos
.