Questão 9. Prove as seguintes propriedades fundamentais da multiplicação para quaisquer naturais a, b e c :
(Associatividade) (a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede-se provar a propriedade associativa da multiplicação para quaisquer naturais a, b e c, ou seja mostrar que
(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)
para todo a,b,c\in\mathbb{N}.
  • Informações dadas (que usaremos como definição/hipóteses padrão para naturais):
    • Multiplicação é a operação sobre naturais definida por recorrência (intuitivamente: multiplicação = soma repetida).
    • As igualdades abaixo representam a definição recursiva de multiplicação: n\cdot 0 = 0, \qquad n\cdot (m+1) = n\cdot m + n,válidas para quaisquer naturais n,m.
    • Usarei também propriedades já estabelecidas da soma de naturais, em particular que a soma é associativa e que a soma respeita a igualdade (se x=y então x+z=y+z). Estas propriedades são usadas para rearranjar somas durante as contas.

Passo 2

Explicando as ferramentas que vamos usar (ideia e técnica).
  • Intuição/definição: n\cdot m significa somar n por m vezes. A definição recursiva acima formaliza isso: multiplicar por 0 0; multiplicar por m+1 é multiplicar por m e somar mais uma vez n.
  • Método de prova: prova por indução no parâmetro c. Explico o princípio de indução que vou usar:
    • Base: mostrar a propriedade para c=0.
    • Passo indutivo: assumir que a propriedade vale para um natural c arbitrário (hipótese indutiva) e a partir disso provar que vale para c+1.
  • Observação: durante a prova precisarei de uma identidade importantíssima (uma “ferramenta”): a distributividade da multiplicação em relação à soma no segundo fator: a\cdot (x+y) = a\cdot x + a\cdot y,para quaisquer naturais a,x,y. Vou provar essa identidade primeiro, porque ela será necessária no passo indutivo da associatividade.

Passo 3

Lema (distributividade à direita). Provar que para todos a,x,y\in\mathbb{N}
a\cdot (x+y) = a\cdot x + a\cdot y.
Prova do lema por indução em y.
  • Base ( y=0):
    a\cdot (x+0) = a\cdot x
    pela definição da soma. E
    a\cdot x + a\cdot 0 = a\cdot x + 0 = a\cdot x
    pela definição da multiplicação ( a\cdot 0 = 0) e pelas propriedades da soma ( z+0=z). Logo a igualdade vale para y=0.
  • Passo indutivo: suponha verdadeira a afirmação para um y arbitrário, ou seja suponha
    a\cdot (x+y) = a\cdot x + a\cdot y.
    Queremos mostrar que
    a\cdot (x+(y+1)) = a\cdot x + a\cdot (y+1).
    Começamos pela definição de soma/agrupamento:
    x+(y+1) = (x+y)+1.
    Pela definição recursiva da multiplicação no segundo fator,
    a\cdot\big((x+y)+1\big) = a\cdot(x+y) + a.
    Aplicando a hipótese indutiva a\cdot(x+y)=a\cdot x + a\cdot y obtemos
    a\cdot\big((x+y)+1\big) = \big(a\cdot x + a\cdot y\big) + a.
    Usando associatividade da soma (que já temos) podemos reescrever
    \big(a\cdot x + a\cdot y\big) + a = a\cdot x + \big(a\cdot y + a\big).
    Mas pela definição recursiva da multiplicação novamente temos a\cdot(y+1)=a\cdot y + a. Portanto
    a\cdot\big((x+y)+1\big) = a\cdot x + a\cdot(y+1),
    que é exatamente o que se queria. Assim o passo indutivo está concluído.
Portanto, por indução em y, vale para todos a,x,y que
a\cdot (x+y) = a\cdot x + a\cdot y.

Passo 4

Prova da associatividade (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c) por indução em c.
  • Base ( c=0). Usando a definição da multiplicação pelo zero:
    (a\cdot b)\cdot 0 = 0
    e
    a\cdot(b\cdot 0) = a\cdot 0 = 0.
    Assim (a\cdot b)\cdot 0 = a\cdot(b\cdot 0).
  • Passo indutivo: suponha que para um certo c arbitrário já vale
    (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c).
    Queremos provar que
    (a\cdot b)\cdot (c+1) = a\cdot \big(b\cdot (c+1)\big).
    Começamos calculando o lado esquerdo usando a definição recursiva:
    (a\cdot b)\cdot (c+1) = (a\cdot b)\cdot c + (a\cdot b).
    Aplicando a hipótese indutiva (a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c) obtenho
    (a\cdot b)\cdot (c+1) = a\cdot(b\cdot c) + (a\cdot b).
    Agora calculo o lado direito:
    a\cdot\big(b\cdot (c+1)\big) = a\cdot\big(b\cdot c + b\big)
    pela definição de multiplicação aplicada ao fator b. Usando o lema de distributividade provado no Passo 3 com x=b\cdot c e y=b, tenho
    a\cdot\big(b\cdot c + b\big) = a\cdot(b\cdot c) + a\cdot b.
    Portanto
    a\cdot\big(b\cdot (c+1)\big) = a\cdot(b\cdot c) + a\cdot b.
    Comparando com a expressão obtida para o lado esquerdo, ambas são iguais a a\cdot(b\cdot c) + a\cdot b. Logo
    (a\cdot b)\cdot (c+1) = a\cdot\big(b\cdot (c+1)\big).
    Isso completa o passo indutivo.
Pelo princípio da indução, a igualdade vale para todo c\in\mathbb{N}. Como a e b foram escolhas arbitrárias, vale para todos a,b,c.

Resposta

(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)

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