Questão 2. (1.5 pt) Calcule as derivadas parciais da função
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Pede-se: calcular as derivadas parciais
, e . - Função dada:
- Informações extraídas do enunciado (importantes para a validade das derivadas):
- A expressão
exige que . - Também é necessário
(porque há divisão por ).
- A expressão
- Assim, as derivadas parciais só fazem sentido no conjunto de pontos
com e .
Passo 2
O que é derivada parcial e regras que vamos usar (explicação didática).
- Derivada parcial em relação a uma variável significa: derivar considerando as outras variáveis como constantes. Por exemplo,
é a taxa de variação de quando só varia e ficam fixos. - Regras que vamos usar:
- Regra do produto (para funções
e dependentes de ):
Isso significa: derivar a primeira mantendo a segunda, mais derivar a segunda mantendo a primeira.
2. Regra da cadeia (para): Exemplo simples: se , então , logo - Regra do produto (para funções
- Aplicação ao nosso caso: escreveremos a parte interna do logaritmo como
de modo que . Isso deixa claro onde aplicar produto e cadeia.
Passo 3
Cálculo de
— desenvolvimento passo a passo.
- Usando
com e aplicando a regra do produto em relação a : - Calculando cada termo:
-
(derivada usual de potência, tratando como constantes). - Pela regra da cadeia,
E porque e são constantes ao derivar em . -
- Substituindo:
- Observação sobre simplificação: como
, podemos, se quisermos, reescrever . Vou deixar a forma simplificada final na seção de resposta.
Passo 4
Cálculo de
— desenvolvimento passo a passo.
- Novamente
. Ao derivar em relação a , a parte é constante (dependendo só de ), então: - Pela regra da cadeia:
E como , temos (porque , com tratado como constante). - Substituindo:
- Novamente pode-se simplificar usando
, o que transforma o denominador em . A forma final simplificada será colocada na seção de resposta.
Passo 5
Cálculo de
— desenvolvimento passo a passo.
- Como antes,
é constante ao derivar em relação a , logo - Pela regra da cadeia:
Calculando com : Portanto . - Substituindo:
- Novamente, usando
, pode-se simplificar a expressão para uma forma com denominador ; a forma final simplificada segue na seção de resposta.
Passo 6
Resumo do procedimento e lembrete prático para a prova.
- Estratégia usada (útil para lembrar na hora da prova): identificar a parte que é produto (
e ), aplicar regra do produto para a variável de interesse, e quando aparecer aplicar a regra da cadeia: derivada de é vezes derivada de . - Cuidado com as constantes: ao derivar em relação a
trate como constantes; ao derivar em relação a trate como constantes; ao derivar em relação a trate como constantes. - Não esquecer as condições de existência:
e .