Questão 2. (1.5 pt) Calcule as derivadas parciais da função
f(x, y, z)=x^{2} \cdot \ln \left(x-\frac{y}{z}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se: calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • Função dada:
f(x,y,z)=x^{2}\cdot\ln\!\left(x-\frac{y}{z}\right).
  • Informações extraídas do enunciado (importantes para a validade das derivadas):
    • A expressão \ln\!\left(x-\dfrac{y}{z}\right) exige que x-\dfrac{y}{z}>0.
    • Também é necessário z\neq 0 (porque há divisão por z).
  • Assim, as derivadas parciais só fazem sentido no conjunto de pontos (x,y,z) com z\neq 0 e x-\dfrac{y}{z}>0.

Passo 2

O que é derivada parcial e regras que vamos usar (explicação didática).
  • Derivada parcial em relação a uma variável significa: derivar considerando as outras variáveis como constantes. Por exemplo, \dfrac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando só x varia e y,z ficam fixos.
  • Regras que vamos usar:
    1. Regra do produto (para funções P e Q dependentes de x,y,z):
    \frac{\partial}{\partial x}(P\cdot Q)=\frac{\partial P}{\partial x}\cdot Q+P\cdot\frac{\partial Q}{\partial x}.Isso significa: derivar a primeira mantendo a segunda, mais derivar a segunda mantendo a primeira.
    2. Regra da cadeia (para h(u(x,y,z))): \frac{\partial}{\partial x}h(u)=h'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.Exemplo simples: se h(u)=\ln u, então h'(u)=1/u, logo \frac{\partial}{\partial x}\ln(u)=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
  • Aplicação ao nosso caso: escreveremos a parte interna do logaritmo como u(x,y,z)=x-\frac{y}{z},de modo que f(x,y,z)=x^{2}\ln u. Isso deixa claro onde aplicar produto e cadeia.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} — desenvolvimento passo a passo.
  • Usando f=x^{2}\ln u com u=x-\dfrac{y}{z} e aplicando a regra do produto em relação a x: \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})\cdot\ln u + x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(\ln u).
  • Calculando cada termo:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x (derivada usual de potência, tratando y,z como constantes).
    • Pela regra da cadeia,
    \frac{\partial}{\partial x}(\ln u)=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.E \dfrac{\partial u}{\partial x}=1 porque u=x-\dfrac{y}{z} e y,z são constantes ao derivar em x.
  • Substituindo: \frac{\partial f}{\partial x}=2x\ln u + x^{2}\cdot\frac{1}{u}\cdot 1 = 2x\ln\!\left(x-\frac{y}{z}\right) + \frac{x^{2}}{\,x-\dfrac{y}{z}\,}.
  • Observação sobre simplificação: como x-\dfrac{y}{z}=\dfrac{xz-y}{z}, podemos, se quisermos, reescrever \dfrac{x^{2}}{x-\tfrac{y}{z}}=\dfrac{x^{2}z}{xz-y}. Vou deixar a forma simplificada final na seção de resposta.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} — desenvolvimento passo a passo.
  • Novamente f=x^{2}\ln u. Ao derivar em relação a y, a parte x^{2} é constante (dependendo só de x), então: \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(\ln u).
  • Pela regra da cadeia: \frac{\partial}{\partial y}(\ln u)=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.E como u=x-\dfrac{y}{z}, temos \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{z}(porque \dfrac{d}{dy}\big(-y/z\big)=-1/z, com z tratado como constante).
  • Substituindo: \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}\cdot\frac{1}{u}\cdot\left(-\frac{1}{z}\right) = -\frac{x^{2}}{\,z\left(x-\dfrac{y}{z}\right)\,}.
  • Novamente pode-se simplificar usando x-\dfrac{y}{z}=\dfrac{xz-y}{z}, o que transforma o denominador z\big(x-\tfrac{y}{z}\big) em xz-y. A forma final simplificada será colocada na seção de resposta.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z} — desenvolvimento passo a passo.
  • Como antes, x^{2} é constante ao derivar em relação a z, logo \frac{\partial f}{\partial z}=x^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(\ln u).
  • Pela regra da cadeia: \frac{\partial}{\partial z}(\ln u)=\frac{1}{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial z}.Calculando \dfrac{\partial u}{\partial z} com u=x-\dfrac{y}{z}: \frac{\partial}{\partial z}\!\left(-\frac{y}{z}\right)=-y\cdot\frac{d}{dz}\left(z^{-1}\right)=-y\cdot(-1)z^{-2}=\frac{y}{z^{2}}.Portanto \dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{y}{z^{2}}.
  • Substituindo: \frac{\partial f}{\partial z}=x^{2}\cdot\frac{1}{u}\cdot\frac{y}{z^{2}}=\frac{x^{2}y}{\,z^{2}\left(x-\dfrac{y}{z}\right)\,}.
  • Novamente, usando x-\dfrac{y}{z}=\dfrac{xz-y}{z}, pode-se simplificar a expressão para uma forma com denominador xz-y; a forma final simplificada segue na seção de resposta.

Passo 6

Resumo do procedimento e lembrete prático para a prova.
  • Estratégia usada (útil para lembrar na hora da prova): identificar a parte que é produto ( x^{2} e \ln(\cdot)), aplicar regra do produto para a variável de interesse, e quando aparecer \ln(u) aplicar a regra da cadeia: derivada de \ln é 1/u vezes derivada de u.
  • Cuidado com as constantes: ao derivar em relação a x trate y,z como constantes; ao derivar em relação a y trate x,z como constantes; ao derivar em relação a z trate x,y como constantes.
  • Não esquecer as condições de existência: z\neq 0 e x-\dfrac{y}{z}>0.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x\ln\!\left(x-\dfrac{y}{z}\right)+\dfrac{x^{2}z}{xz-y}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=-\dfrac{x^{2}}{xz-y}
\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{x^{2}y}{z\,(xz-y)}

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