Questão 1. Calcule o valor do limite ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações relevantes dadas:
- O ponto de aproximação é
. - O numerador é
. - O denominador é
.
A tarefa é calcular esse limite ou mostrar que ele não existe.
Passo 2
Primeiro passo prático: é muito útil centralizar a expansão em torno do ponto de interesse. Defino as variáveis de deslocamento
assim
equivale a
. Vou reescrever numerador e denominador em termos de
e
para ver se há simplificações óbvias.
Passo 3
Substituo
e
no numerador
. Faço passo a passo:
Somando tudo:
Agora agrupo termos semelhantes: as constantes
somam
; os termos em
são
; os termos em
são
. Resta apenas o termo com produto:
Passo 4
O denominador em termos de
é imediato:
Portanto a expressão do limite fica
e precisamos avaliar
Passo 5
Para saber se esse limite existe, um método eficiente é verificar se o valor limite depende da direção pela qual
vai para
. Considere aproximar pela reta
, com
constante (a reta passa pela origem). Substituindo:
para todo
. Ao fazer
(mantendo
), o valor tende para
Esse resultado depende do parâmetro
(a inclinação da reta). Logo, se eu escolher dois valores diferentes de
obtenho limites diferentes.
Passo 6
Mostro dois exemplos concretos para ficar cristalino:
- Para
(ou seja, aproximando pela reta , que significa e ) obtemos
- Para
(aproximação pela reta , ou ) obtemos
Como duas maneiras diferentes de aproximar o ponto dão limites distintos (
e
), não existe um único valor limite.
Passo 7
Conclusão: o limite depende da direção de aproximação e, portanto, o limite original não existe. Você pode sempre usar a substituição
e testar retas
para mostrar dependência de caminho — é uma ferramenta muito prática para limites em duas variáveis.
Resposta
O limite não existe.