Questão 1. Calcule o valor do limite ou mostre que o limite não existe:
(1.0 \mathrm{pt}) \lim _{(r, s) \rightarrow(-1,2)} \frac{r s-2 r+s-2}{(r+1)^{2}+(s-2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando (r,s) se aproxima de (-1,2):
\lim_{(r,s)\to(-1,2)} \frac{r s - 2r + s - 2}{(r+1)^{2} + (s-2)^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • O ponto de aproximação é (-1,2).
  • O numerador é r s - 2r + s - 2.
  • O denominador é (r+1)^{2} + (s-2)^{2}.
    A tarefa é calcular esse limite ou mostrar que ele não existe.

Passo 2

Primeiro passo prático: é muito útil centralizar a expansão em torno do ponto de interesse. Defino as variáveis de deslocamento
h = r+1,\qquad k = s-2,
assim (r,s)\to(-1,2) equivale a (h,k)\to(0,0). Vou reescrever numerador e denominador em termos de h e k para ver se há simplificações óbvias.

Passo 3

Substituo r=-1+h e s=2+k no numerador r s - 2r + s - 2. Faço passo a passo:
r s = (-1+h)(2+k) = -2 - k + 2h + hk,
-2r = -2(-1+h) = 2 - 2h,
s = 2 + k.
Somando tudo:
r s - 2r + s - 2 = (-2 - k + 2h + hk) + (2 - 2h) + (2 + k) - 2.
Agora agrupo termos semelhantes: as constantes -2 + 2 + 2 - 2 somam 0; os termos em k são -k + k = 0; os termos em h são 2h - 2h = 0. Resta apenas o termo com produto:
r s - 2r + s - 2 = hk.

Passo 4

O denominador em termos de h,k é imediato:
(r+1)^{2} + (s-2)^{2} = h^{2} + k^{2}.
Portanto a expressão do limite fica
\frac{r s - 2r + s - 2}{(r+1)^{2} + (s-2)^{2}} \;=\; \frac{hk}{h^{2}+k^{2}},
e precisamos avaliar
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{hk}{h^{2}+k^{2}}.

Passo 5

Para saber se esse limite existe, um método eficiente é verificar se o valor limite depende da direção pela qual (h,k) vai para (0,0). Considere aproximar pela reta k = m h, com m constante (a reta passa pela origem). Substituindo:
\frac{hk}{h^{2}+k^{2}} = \frac{h\cdot (m h)}{h^{2} + (m h)^{2}} = \frac{m h^{2}}{h^{2}(1+m^{2})} = \frac{m}{1+m^{2}},
para todo h\neq0. Ao fazer h\to0 (mantendo k=mh), o valor tende para
\frac{m}{1+m^{2}}.
Esse resultado depende do parâmetro m (a inclinação da reta). Logo, se eu escolher dois valores diferentes de m obtenho limites diferentes.

Passo 6

Mostro dois exemplos concretos para ficar cristalino:
  • Para m=0 (ou seja, aproximando pela reta k=0, que significa s=2 e r\to-1) obtemos
\frac{m}{1+m^{2}}=\frac{0}{1+0}=0.
  • Para m=1 (aproximação pela reta k=h, ou s-2 = r+1) obtemos
\frac{m}{1+m^{2}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Como duas maneiras diferentes de aproximar o ponto dão limites distintos ( 0 e \tfrac{1}{2}), não existe um único valor limite.

Passo 7

Conclusão: o limite depende da direção de aproximação e, portanto, o limite original não existe. Você pode sempre usar a substituição h=r+1,\\ k=s-2 e testar retas k=mh para mostrar dependência de caminho — é uma ferramenta muito prática para limites em duas variáveis.

Resposta

O limite não existe.

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