O custo marginal para fabricar um certo produto é
reais por unidade quando q unidades são produzidas.
(a) Qual é o custo total para fabricar as primeiras 10 peças?
(b) Qual é o custo para produzir as 10 unidades seguintes?
(a) Qual é o custo total para fabricar as primeiras 10 peças?
(b) Qual é o custo para produzir as 10 unidades seguintes?
Passo 1
O enunciado fornece a função do custo marginal e pede duas coisas. Informações e perguntas, tiradas diretamente do enunciado:
- Foi dado que o custo marginal é
(reais por unidade), onde é o número de unidades produzidas. - Pergunta (a): qual é o custo total para fabricar as primeiras 10 peças?
- Pergunta (b): qual é o custo para produzir as 10 unidades seguintes? (interpreto “as 10 unidades seguintes” como as unidades de
a , isto é, o incremento de custo ao passar de 10 para 20 unidades — em cálculo isso corresponde ao intervalo entre 10 e 20).
Passo 2
Conceito essencial (aula curtinha e direta):
- Seja
a função do custo total para produzir unidades. O custo marginal é a derivada de em relação a ; ele nos dá a taxa instantânea de variação do custo quando a produção é . - Importante: a variação do custo ao aumentar a produção de
para é dada pela integral do custo marginal nesse intervalo:
Essa fórmula vem diretamente do Teorema Fundamental do Cálculo: integrar a derivada recupera a diferença de valores da função original.
- Observação sobre constante de integração:
pode ter uma constante (custo fixo), mas para calcular a variação de custo entre dois níveis e essa constante se cancela. Portanto, para responder “custo das primeiras 10 peças” podemos calcular sem precisar conhecer .
Passo 3
Resolver (a) montando a integral que dá o custo total das primeiras 10 peças:
Agora integramos passo a passo. Calcule a antiderivada de
:
- Antiderivada de
é porque . - Antiderivada de
é porque .
Logo uma antiderivada deé .
Aplicando os limites de integração:
Calcule os termos:
Portanto o custo para fabricar as primeiras 10 peças é
reais.
Passo 4
Comentário didático curto sobre interpretação: esse valor
é a variação de custo entre produzir
e
unidades. Se houvesse um custo fixo inicial
desconhecido, ele não afeta essa variação. Se o problema pedisse o valor absoluto
e quisesse incluir custo fixo, seria necessário conhecer
.
Passo 5
Resolver (b) — custo para produzir as 10 unidades seguintes (incremento de 10 para 20):
Usamos a mesma antiderivada
e aplicamos os limites:
Calcule cada termo:
Subtraindo:
Portanto o custo para produzir as 10 unidades seguintes é
reais.
Passo 6
Exemplo ilustrativo rápido (para fixar a ideia): o custo aproximado de produzir “a unidade 11” pode ser aproximado por
reais (taxa instantânea em
), mas o custo exato da 11ª unidade é
ou seja, a integral dá o valor exato do incremento e pode diferir da aproximação
.