O custo marginal para fabricar um certo produto é C^{\prime}(q)=6 q+1 reais por unidade quando q unidades são produzidas.
(a) Qual é o custo total para fabricar as primeiras 10 peças?
(b) Qual é o custo para produzir as 10 unidades seguintes?

Passo 1

O enunciado fornece a função do custo marginal e pede duas coisas. Informações e perguntas, tiradas diretamente do enunciado:
  • Foi dado que o custo marginal é C'(q)=6q+1 (reais por unidade), onde q é o número de unidades produzidas.
  • Pergunta (a): qual é o custo total para fabricar as primeiras 10 peças?
  • Pergunta (b): qual é o custo para produzir as 10 unidades seguintes? (interpreto “as 10 unidades seguintes” como as unidades de q=11 a q=20, isto é, o incremento de custo ao passar de 10 para 20 unidades — em cálculo isso corresponde ao intervalo q entre 10 e 20).

Passo 2

Conceito essencial (aula curtinha e direta):
  • Seja C(q) a função do custo total para produzir q unidades. O custo marginal C'(q) é a derivada de C em relação a q; ele nos dá a taxa instantânea de variação do custo quando a produção é q.
  • Importante: a variação do custo ao aumentar a produção de a para b é dada pela integral do custo marginal nesse intervalo:
\Delta C = C(b)-C(a)=\int_{a}^{b} C'(q)\,dq.
Essa fórmula vem diretamente do Teorema Fundamental do Cálculo: integrar a derivada recupera a diferença de valores da função original.
  • Observação sobre constante de integração: C(q) pode ter uma constante (custo fixo), mas para calcular a variação de custo entre dois níveis a e b essa constante se cancela. Portanto, para responder “custo das primeiras 10 peças” podemos calcular C(10)-C(0)=\int_{0}^{10}C'(q)\,dq sem precisar conhecer C(0).

Passo 3

Resolver (a) montando a integral que dá o custo total das primeiras 10 peças:
\text{Custo das primeiras 10 peças}=\int_{0}^{10} (6q+1)\,dq.ç
Agora integramos passo a passo. Calcule a antiderivada de 6q+1:
  • Antiderivada de 6q é 3q^{2} porque \dfrac{d}{dq}(3q^{2})=6q.
  • Antiderivada de 1 é q porque \dfrac{d}{dq}(q)=1.
    Logo uma antiderivada de 6q+1 é 3q^{2}+q.
    Aplicando os limites de integração:
\int_{0}^{10} (6q+1)\,dq=\bigl[3q^{2}+q\bigr]_{0}^{10}=(3\cdot10^{2}+10)-(3\cdot0^{2}+0).
Calcule os termos:
3\cdot10^{2}+10=3\cdot100+10=300+10=310.
Portanto o custo para fabricar as primeiras 10 peças é 310 reais.

Passo 4

Comentário didático curto sobre interpretação: esse valor 310 é a variação de custo entre produzir 0 e 10 unidades. Se houvesse um custo fixo inicial C(0) desconhecido, ele não afeta essa variação. Se o problema pedisse o valor absoluto C(10) e quisesse incluir custo fixo, seria necessário conhecer C(0).

Passo 5

Resolver (b) — custo para produzir as 10 unidades seguintes (incremento de 10 para 20):
\text{Custo das unidades 11 a 20}=\int_{10}^{20} (6q+1)\,dq.
Usamos a mesma antiderivada 3q^{2}+q e aplicamos os limites:
\int_{10}^{20} (6q+1)\,dq=\bigl[3q^{2}+q\bigr]_{10}^{20}=(3\cdot20^{2}+20)-(3\cdot10^{2}+10).
Calcule cada termo:
3\cdot20^{2}+20=3\cdot400+20=1200+20=1220,
3\cdot10^{2}+10=300+10=310.
Subtraindo:
1220-310=910.
Portanto o custo para produzir as 10 unidades seguintes é 910 reais.

Passo 6

Exemplo ilustrativo rápido (para fixar a ideia): o custo aproximado de produzir “a unidade 11” pode ser aproximado por C'(10)=6\cdot10+1=61 reais (taxa instantânea em q=10), mas o custo exato da 11ª unidade é
\int_{10}^{11}(6q+1)\,dq=\bigl[3q^{2}+q\bigr]_{10}^{11}=64\\ \text{reais},
ou seja, a integral dá o valor exato do incremento e pode diferir da aproximação C'(10).

Resposta

310\\ \text{reais}
910\\ \text{reais}

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