(2.5 pt) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d s}, onde C é a curva parametrizada por \vec{r}(t)=t \vec{i}+\cos (t) \vec{j}+\operatorname{sen}(t) \vec{k}, 0 \leq t \leq 2 \pi, e \vec{F} é o campo dado por \vec{F}(x, y, z)=e^{x} \vec{i}+x y \vec{j}+x z \vec{k}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot \overrightarrow{d s} onde estão dadas as seguintes informações:
A curva C é parametrizada por \vec{r}(t)=t\vec{i}+\cos(t)\vec{j}+\sin(t)\vec{k} com 0\le t\le 2\pi.
O campo vetorial é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=e^{x}\vec{i}+xy\vec{j}+xz\vec{k}.
O que se pede: calcular o valor real de \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot \overrightarrow{d s}.
Passo 2
Regra que vamos usar (definição prática): se uma curva é dada por \vec{r}(t), a\le t\le b, e temos um campo \vec{F}, então a integral de linha do campo ao longo da curva é
\vec{r}(t) é a posição ao longo da curva em função do parâmetro t.
\vec{r}\,'(t) é a velocidade (derivada componente a componente), que nos dá o vetor \overrightarrow{d s}/dt.
\vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva (substituímos x,y,z pelas coordenadas da curva).
O produto escalar \cdot dá a componente do campo ao longo do deslocamento infinitesimal; integrar em t soma essa contribuição ao longo de todo o percurso.
Passo 3
Calcular \vec{r}\,'(t) derivando componente a componente: