Questão 1.

(2.5 pt) Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d s}, onde C é a curva parametrizada por \vec{r}(t)=t \vec{i}+\cos (t) \vec{j}+\operatorname{sen}(t) \vec{k}, 0 \leq t \leq 2 \pi, e \vec{F} é o campo dado por \vec{F}(x, y, z)=e^{x} \vec{i}+x y \vec{j}+x z \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot \overrightarrow{d s} onde estão dadas as seguintes informações:
  • A curva C é parametrizada por \vec{r}(t)=t\vec{i}+\cos(t)\vec{j}+\sin(t)\vec{k} com 0\le t\le 2\pi.
  • O campo vetorial é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=e^{x}\vec{i}+xy\vec{j}+xz\vec{k}.
  • O que se pede: calcular o valor real de \displaystyle \int_{C} \vec{F}\cdot \overrightarrow{d s}.

Passo 2

Regra que vamos usar (definição prática): se uma curva é dada por \vec{r}(t), a\le t\le b, e temos um campo \vec{F}, então a integral de linha do campo ao longo da curva é
\int_{C}\vec{F}\cdot \overrightarrow{d s}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Explicando cada parte:
  • \vec{r}(t) é a posição ao longo da curva em função do parâmetro t.
  • \vec{r}\,'(t) é a velocidade (derivada componente a componente), que nos dá o vetor \overrightarrow{d s}/dt.
  • \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva (substituímos x,y,z pelas coordenadas da curva).
  • O produto escalar \cdot dá a componente do campo ao longo do deslocamento infinitesimal; integrar em t soma essa contribuição ao longo de todo o percurso.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) derivando componente a componente:
\vec{r}(t)=t\vec{i}+\cos(t)\vec{j}+\sin(t)\vec{k}
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\vec{r}\,'(t)=\frac{d}{dt}\big(t\big)\vec{i}+\frac{d}{dt}\big(\cos t\big)\vec{j}+\frac{d}{dt}\big(\sin t\big)\vec{k}
\vec{r}\,'(t)=1\cdot\vec{i}+(-\sin t)\vec{j}+(\cos t)\vec{k}.

Passo 4

Avaliar o campo \vec{F} ao longo da curva: substituir x=t, y=\cos t, z=\sin t em cada componente de \vec{F}:
\vec{F}(\vec{r}(t))=e^{t}\vec{i}+(t\cos t)\vec{j}+(t\sin t)\vec{k}.

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=e^{t}\cdot 1+(t\cos t)\cdot(-\sin t)+(t\sin t)\cdot(\cos t).
Simplificando os termos com t:
(t\cos t)(-\sin t)+(t\sin t)(\cos t)=-t\cos t\sin t + t\sin t\cos t=0.
Portanto o integrando fica simplesmente
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=e^{t}.

Passo 6

Agora a integral de linha reduz-se à integral em t:
\int_{C}\vec{F}\cdot \overrightarrow{d s}=\int_{0}^{2\pi} e^{t}\,dt.
Regra de integração: \displaystyle \int e^{t}\,dt=e^{t}+C. Para a integral definida:
\int_{0}^{2\pi} e^{t}\,dt = e^{t}\Big|_{0}^{2\pi}=e^{2\pi}-e^{0}.

Passo 7

Como e^{0}=1, o resultado final é
\int_{C}\vec{F}\cdot \overrightarrow{d s}=e^{2\pi}-1.

Resposta

e^{2\pi}-1

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