Seja A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} uma matriz quadrada. Definimos o traço de A, \operatorname{Tr}(A), por \sum_{i=1}^{n} a_{i i}. Responda os itens abaixo:
(a) Mostre que \operatorname{Tr}(A \cdot B)=\operatorname{Tr}(B \cdot A).
(b) Mostre que \operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}\left(A^{t}\right).
(c) Sejam A e B matrizes 2 \times 2. Define-se \langle A, B\rangle=\operatorname{Tr}\left(B \cdot A^{t}\right), mostre que \langle A, B\rangle é um produto interno.
(d) Exiba uma base ortonormal de M(2 \times 2) segundo o produto interno do item acima.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A=(a_{ij})_{n\times n} e define o traço por \operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}. Precisamos responder quatro itens:
(a) Mostrar que \operatorname{Tr}(A\cdot B)=\operatorname{Tr}(B\cdot A) para matrizes quadradas A,B (mesma ordem).
(b) Mostrar que \operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}\left(A^{t}\right).
(c) Para 2\times2 definir \langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}\left(B\cdot A^{t}\right) e provar que \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno (ou seja: linearidade bilinear, simetria e positividade definida).
(d) Exibir uma base ortonormal de M(2\times2) segundo esse produto interno.

Passo 2

Vamos provar (a). Primeiro lembro (e ensino) a fórmula do produto de matrizes em componentes: se C=A\cdot B então
\text{(C)}_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}.
O traço de C é a soma das entradas diagonais, então
\operatorname{Tr}(A\cdot B)=\sum_{i=1}^{n} (A\cdot B)_{ii} =\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{k i}.
Aqui temos uma soma dupla \sum_{i}\sum_{k}. Podemos trocar a ordem das somas (soma finita permite isso) e obter
\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{k i} =\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n} b_{k i}\,a_{i k}.
Observe agora que \sum_{i=1}^{n} b_{k i}\,a_{i k}=(B\cdot A)_{kk}. Portanto
\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n} b_{k i}\,a_{i k}=\sum_{k=1}^{n} (B\cdot A)_{kk}=\operatorname{Tr}(B\cdot A).
Juntando as igualdades chegamos em
\operatorname{Tr}(A\cdot B)=\operatorname{Tr}(B\cdot A),
que é exatamente o que queríamos mostrar. Intuição: ao somar apenas as diagonais de AB estamos somando produtos a_{ik}b_{ki} e isso é o mesmo conjunto de termos que aparece na diagonal de BA.

Passo 3

Agora (b). A transposta troca índices: (A^{t})_{ij}=a_{ji}. Em particular, para a diagonal, (A^{t})_{ii}=a_{ii} para todo i. Então
\operatorname{Tr}\left(A^{t}\right)=\sum_{i=1}^{n} (A^{t})_{ii}=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}=\operatorname{Tr}(A).
Portanto \operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}(A^{t}). Dica prática: transpor não altera os elementos da diagonal, logo não altera o traço.

Passo 4

Preparação para (c): vou explicar quais propriedades preciso checar para que \langle\cdot,\cdot\rangle seja um produto interno em M(2\times2). Em espaço real, um produto interno deve satisfazer:
  1. linearidade em cada argumento (aqui vou provar bilinearidade: linearidade em cada argumento separadamente),
  2. simetria: \langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle,
  3. positividade definida: \langle A,A\rangle\ge 0 e \langle A,A\rangle=0 só se A for a matriz nula.
Vou usar duas propriedades que já provamos ou são óbvias: a linearidade do traço ( \operatorname{Tr}(X+Y)=\operatorname{Tr}(X)+\operatorname{Tr}(Y), \operatorname{Tr}(cX)=c\operatorname{Tr}(X) para c\in\mathbb{R}) e a propriedade da parte (a): \operatorname{Tr}(XY)=\operatorname{Tr}(YX).

Passo 5

Provar linearidade (bilinearidade) de \langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}\left(B A^{t}\right).
Linearidade em A: tomemos A_{1},A_{2}\in M(2\times2) e c\in\mathbb{R}. Usando a distributividade do produto de matrizes e linearidade do traço temos
\langle A_{1}+A_{2},B\rangle=\operatorname{Tr}\big(B (A_{1}+A_{2})^{t}\big) =\operatorname{Tr}\big(B (A_{1}^{t}+A_{2}^{t})\big) =\operatorname{Tr}(B A_{1}^{t})+\operatorname{Tr}(B A_{2}^{t}) =\langle A_{1},B\rangle+\langle A_{2},B\rangle,
e
\langle cA_{1},B\rangle=\operatorname{Tr}\big(B (cA_{1})^{t}\big) =\operatorname{Tr}\big(B (cA_{1}^{t})\big) =c\,\operatorname{Tr}(B A_{1}^{t})=c\langle A_{1},B\rangle.
Portanto é linear em A. De modo análogo (ou trocando papéis e usando a linearidade do traço à esquerda) obtemos linearidade em B. Assim a forma é bilinear.

Passo 6

Provar simetria: queremos \langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle. Começamos por usar que a transposta inverte a ordem e que o traço é invariante por transposição. Calcule:
\langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}(B A^{t}).
Tomando a transposta da matriz dentro do traço e lembrando que \operatorname{Tr}(X)=\operatorname{Tr}(X^{t}), temos
\operatorname{Tr}(B A^{t})=\operatorname{Tr}\big((B A^{t})^{t}\big) =\operatorname{Tr}\big(A B^{t}\big)=\langle B,A\rangle.
Logo \langle A,B\rangle=\langle B,A\rangle. (Também poderíamos usar diretamente Tr(AB)=Tr(BA) combinado com (b).)

Passo 7

Provar positividade definida: calcular \langle A,A\rangle. Pelo definição,
\langle A,A\rangle=\operatorname{Tr}\big(A A^{t}\big).
Vamos escrever em componentes. Se A=(a_{ij}) com índices i,j\in\{1,2\}, então a entrada diagonal i-ésima de A A^{t} é
(AA^{t})_{ii}=\sum_{j=1}^{2} a_{ij}\,a_{ij}=\sum_{j=1}^{2} a_{ij}^{2}.
Então o traço é a soma das diagonais:
\operatorname{Tr}(AA^{t})=\sum_{i=1}^{2} (AA^{t})_{ii} =\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} a_{ij}^{2}=\sum_{i,j=1}^{2} a_{ij}^{2}.
Isso é uma soma de quadrados reais, portanto \langle A,A\rangle\ge 0. Além disso, \langle A,A\rangle=0 implica que cada a_{ij}^{2}=0, logo cada a_{ij}=0, isto é, A é a matriz nula. Portanto a forma é definida positiva.
Concluímos que \langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}(B A^{t}) satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é um produto interno em M(2\times2).

Passo 8

Agora (d): encontrar uma base ortonormal de M(2\times2) segundo esse produto interno. Uma escolha natural são as matrizes canônicas E_{ij} (matriz com 1 na posição (i,j) e zeros nas outras entradas). Vou definir explicitamente as quatro matrizes:
E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Vou mostrar que são ortonormais: calcule a forma entre duas dessas matrizes genéricas E_{ij} e E_{kl}. Usando a definição e propriedades do produto das matrizes canônicas obtém-se (ensino o cálculo):
\langle E_{ij},E_{kl}\rangle=\operatorname{Tr}\big(E_{kl}\,E_{ij}^{t}\big).
Mas E_{ij}^{t}=E_{ji} e o produto E_{kl}\,E_{ji} é a matriz que tem 1 apenas na posição (k,i) se l=j, caso contrário é a matriz zero. Em notação de delta de Kronecker isso dá
E_{kl}\,E_{ji}=\delta_{l j}\,E_{k i}.
Tomando traço:
\operatorname{Tr}\big(E_{kl}\,E_{ij}^{t}\big)=\delta_{l j}\,\operatorname{Tr}(E_{k i})=\delta_{l j}\,\delta_{k i}.
Portanto
\langle E_{ij},E_{kl}\rangle=\delta_{i k}\,\delta_{j l}.
Isso significa que as E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} são ortogonais entre si e cada uma tem norma
\langle E_{ij},E_{ij}\rangle=1.
Logo essas quatro matrizes formam uma base ortonormal de M(2\times2) segundo o produto interno dado.]

Resposta

(a) \operatorname{Tr}(A\cdot B)=\operatorname{Tr}(B\cdot A).\n
(b) \operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}\left(A^{t}\right).\n
(c) \langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}\left(B\cdot A^{t}\right) é um produto interno em M(2\times2) (bilinear, simétrico e definido positivo).\n
(d) Uma base ortonormal é
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

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