Seja
uma matriz quadrada. Definimos o traço de
, por
. Responda os itens abaixo:
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que
.
(c) Sejam
e
matrizes
. Define-se
, mostre que
é um produto interno.
(d) Exiba uma base ortonormal de
segundo o produto interno do item acima.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
(c) Sejam
(d) Exiba uma base ortonormal de
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
e define o traço por
. Precisamos responder quatro itens:
(a) Mostrar que para matrizes quadradas
(mesma ordem).
(b) Mostrar que .
(c) Para definir
e provar que
é um produto interno (ou seja: linearidade bilinear, simetria e positividade definida).
(d) Exibir uma base ortonormal de segundo esse produto interno.
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que
(c) Para
(d) Exibir uma base ortonormal de
Passo 2
Vamos provar (a). Primeiro lembro (e ensino) a fórmula do produto de matrizes em componentes: se
então
O traço de
é a soma das entradas diagonais, então
Aqui temos uma soma dupla
. Podemos trocar a ordem das somas (soma finita permite isso) e obter
Observe agora que
. Portanto
Juntando as igualdades chegamos em
que é exatamente o que queríamos mostrar. Intuição: ao somar apenas as diagonais de
estamos somando produtos
e isso é o mesmo conjunto de termos que aparece na diagonal de
.
Passo 3
Agora (b). A transposta troca índices:
. Em particular, para a diagonal,
para todo
. Então
Portanto
. Dica prática: transpor não altera os elementos da diagonal, logo não altera o traço.
Passo 4
Preparação para (c): vou explicar quais propriedades preciso checar para que
seja um produto interno em
. Em espaço real, um produto interno deve satisfazer:
- linearidade em cada argumento (aqui vou provar bilinearidade: linearidade em cada argumento separadamente),
- simetria:
, - positividade definida:
e só se for a matriz nula.
Vou usar duas propriedades que já provamos ou são óbvias: a linearidade do traço (
,
para
) e a propriedade da parte (a):
.
Passo 5
Provar linearidade (bilinearidade) de
.
Linearidade em
: tomemos
e
. Usando a distributividade do produto de matrizes e linearidade do traço temos
e
Portanto é linear em
. De modo análogo (ou trocando papéis e usando a linearidade do traço à esquerda) obtemos linearidade em
. Assim a forma é bilinear.
Passo 6
Provar simetria: queremos
. Começamos por usar que a transposta inverte a ordem e que o traço é invariante por transposição. Calcule:
Tomando a transposta da matriz dentro do traço e lembrando que
, temos
Logo
. (Também poderíamos usar diretamente Tr(AB)=Tr(BA) combinado com (b).)
Passo 7
Provar positividade definida: calcular
. Pelo definição,
Vamos escrever em componentes. Se
com índices
, então a entrada diagonal
-ésima de
é
Então o traço é a soma das diagonais:
Isso é uma soma de quadrados reais, portanto
. Além disso,
implica que cada
, logo cada
, isto é,
é a matriz nula. Portanto a forma é definida positiva.
Concluímos que
satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é um produto interno em
.
Passo 8
Agora (d): encontrar uma base ortonormal de
segundo esse produto interno. Uma escolha natural são as matrizes canônicas
(matriz com
na posição
e zeros nas outras entradas). Vou definir explicitamente as quatro matrizes:
Vou mostrar que são ortonormais: calcule a forma entre duas dessas matrizes genéricas
e
. Usando a definição e propriedades do produto das matrizes canônicas obtém-se (ensino o cálculo):
Mas
e o produto
é a matriz que tem
apenas na posição
se
, caso contrário é a matriz zero. Em notação de delta de Kronecker isso dá
Tomando traço:
Portanto
Isso significa que as
são ortogonais entre si e cada uma tem norma
Logo essas quatro matrizes formam uma base ortonormal de
segundo o produto interno dado.]
Resposta
(a)
.\n
(b) .\n
(c) é um produto interno em
(bilinear, simétrico e definido positivo).\n
(d) Uma base ortonormal é
(b)
(c)
(d) Uma base ortonormal é