Seja (, ) um produto interno no espaço vetorial Fç. Dado um isomorfismo A: E \rightarrow F, defina
\langle\langle u, v\rangle\rangle=\langle A u, A v\rangle
para quaisquer u, v \in E. Prove que \langle\langle\rangle, \rangle é um produto interno em Eé.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente o que se deve provar.
  • Temos um produto interno (\cdot,\cdot) definido no espaço vetorial F.
  • Temos um isomorfismo linear A: E \to F (isto é, A é linear e bijetora).
  • É definida em E a forma bilinear (ou sesquilinear, no caso complexo) \langle\langle u,v\rangle\rangle = \langle A u, A v\ranglepara quaisquer u,v\in E.
  • O que se pede: provar que \langle\langle\cdot,\cdot\rangle\rangle é um produto interno em E.
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas ou implicadas pelo enunciado):
  • A é linear: A(\alpha u+\beta w)=\alpha A u+\beta A w para todos \alpha,\beta\in\mathbb{F} e u,w\in E.
  • A é injetora (por ser isomorfismo), logo A u = 0 implica u=0.
  • O produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle em F satisfaz as propriedades usuais: (i) linearidade na primeira variável (ou na variável escolhida pela convenção), (ii) conjugação/simetria hermitiana \langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}, e (iii) positividade definida \langle x,x\rangle>0 para x\neq0.

Passo 2

Explicando as propriedades que precisamos verificar (sem assumir que já sabe): para que uma forma \langle\langle\cdot,\cdot\rangle\rangle em E seja um produto interno devemos mostrar três coisas (usando a convenção linearidade na primeira variável; se a sua convenção for a contrária, o argumento é análogo trocando a variável linear):
  1. Linearidade na primeira variável: para quaisquer \alpha,\beta\in\mathbb{F} e u,w,v\in E deve valer \langle\langle \alpha u+\beta w, v\rangle\rangle = \alpha\langle\langle u,v\rangle\rangle + \beta\langle\langle w,v\rangle\rangle.
  2. Conjugada-simetricidade (hermiticidade): para quaisquer u,v\in E \langle\langle u,v\rangle\rangle = \overline{\langle\langle v,u\rangle\rangle}.(Se o corpo for \mathbb{R}, a conjugação é trivial e isso reduz a simetria usual.)
  3. Positividade definida: para todo u\in E tem-se \langle\langle u,u\rangle\rangle\ge 0 e \langle\langle u,u\rangle\rangle=0 se e somente se u=0.
Nos próximos passos vamos provar cada uma dessas propriedades, sempre explicitando cada identidade usada e por que ela é válida.

Passo 3

Prova da conjugada-simetricidade: pegue u,v\in E. Então, pela definição de \langle\langle\cdot,\cdot\rangle\rangle e pela propriedade de conjugada-simetricidade de \langle\cdot,\cdot\rangle em F,
\langle\langle u,v\rangle\rangle = \langle A u, A v\rangle.
Como \langle\cdot,\cdot\rangle satisfaz \langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle} para todos x,y\in F, aplicamos com x=Au e y=Av e obtemos
\langle A u, A v\rangle = \overline{\langle A v, A u\rangle}.
Reescrevendo em termos da forma dupla,
\langle\langle u,v\rangle\rangle = \overline{\langle\langle v,u\rangle\rangle},
que é exatamente a propriedade desejada. Observação: se o corpo for \mathbb{R}, a barra de conjugação é inútil e temos simplesmente \langle\langle u,v\rangle\rangle = \langle\langle v,u\rangle\rangle.

Passo 4

Prova da linearidade na primeira variável: seja \alpha,\beta\in\mathbb{F} e u,w,v\in E. Usamos a linearidade de A e a linearidade da forma \langle\cdot,\cdot\rangle em F na primeira variável. Começamos pela definição:
\langle\langle \alpha u+\beta w, v\rangle\rangle = \langle A(\alpha u+\beta w), A v\rangle.
Como A é linear,
A(\alpha u+\beta w)=\alpha A u + \beta A w.
Substituindo,
\langle A(\alpha u+\beta w), A v\rangle = \langle \alpha A u + \beta A w, A v\rangle.
Agora usamos a linearidade do produto interno em F na primeira variável:
\langle \alpha A u + \beta A w, A v\rangle = \alpha \langle A u, A v\rangle + \beta \langle A w, A v\rangle.
Voltando à notação dupla,
\alpha \langle A u, A v\rangle + \beta \langle A w, A v\rangle = \alpha \langle\langle u,v\rangle\rangle + \beta \langle\langle w,v\rangle\rangle.
Assim concluímos a linearidade na primeira variável.

Passo 5

Prova da positividade definida: tome u\in E. Pela definição,
\langle\langle u,u\rangle\rangle = \langle A u, A u\rangle.
Como \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno em F, tem-se \langle A u, A u\rangle \ge 0 e \langle A u, A u\rangle = 0 se e somente se A u = 0. Mas A é um isomorfismo, logo injetora, portanto A u = 0 implica u = 0. Assim:
  • Se u\neq 0 então A u \neq 0, o que dá \langle A u, A u\rangle>0, logo \langle\langle u,u\rangle\rangle>0.
  • E \langle\langle u,u\rangle\rangle = 0 ocorre somente quando u=0.
Isso estabelece a positividade definida.

Passo 6

Resumo e conclusão: mostramos as três propriedades necessárias:
  • conjugada-simetricidade: \langle\langle u,v\rangle\rangle=\overline{\langle\langle v,u\rangle\rangle};
  • linearidade na primeira variável: \langle\langle \alpha u+\beta w, v\rangle\rangle=\alpha\langle\langle u,v\rangle\rangle+\beta\langle\langle w,v\rangle\rangle;
  • positividade definida: \langle\langle u,u\rangle\rangle\ge0 e \langle\langle u,u\rangle\rangle=0\iff u=0.
Portanto a forma \langle\langle\cdot,\cdot\rangle\rangle definida por \langle\langle u,v\rangle\rangle=\langle A u, A v\rangle satisfaz todas as axiomas de um produto interno em E. Intuitivamente: estamos “transportando” o produto interno de F para E via o isomorfismo A; como A preserva combinações lineares e é injetora, as propriedades fundamentais do produto interno são preservadas.

Resposta

\langle\langle u,v\rangle\rangle=\langle A u, A v\rangle é um produto interno em E.

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