Questão 2) (3 pts) Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função está explicitada como quociente entre
(numerador) e (denominador). - Precisa-se encontrar
, a derivada em relação a .
Passo 2
Escolha do método: em vez de aplicar diretamente a regra do quociente, é mais prático reescrever a função usando potência e aplicar a regra do produto combinada com a regra da cadeia. Isso costuma gerar contas mais simples e menos chance de erro na prova.
Passo 3
Reescrevendo a função usando potência:
Aqui foi usado que
, então dividir por
é multiplicar por
.
Passo 4
Lembrando as regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
, então
onde
e
são as derivadas de
e
.
- Regra da cadeia (caso polinomial/potência): se
com constante, então
onde
é a derivada da função interna
.
No nosso caso podemos tomar
e
.
Passo 5
Calcular
e
:
-
então
-
. Aplicando a regra da cadeia com e :
Simplificando os fatores numéricos:
Passo 6
Agora aplicar a regra do produto:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Ou seja,
Passo 7
Fatorando o fator comum
para simplificar:
portanto
Assim a expressão final simplificada para a derivada é
.