Questão 2) (3 pts) Calcule as derivadas:
y(t)=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y(t)=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}.
Informações dadas:
  • A função está explicitada como quociente entre t (numerador) e \sqrt{t^{2}+1} (denominador).
  • Precisa-se encontrar y'(t), a derivada em relação a t.

Passo 2

Escolha do método: em vez de aplicar diretamente a regra do quociente, é mais prático reescrever a função usando potência e aplicar a regra do produto combinada com a regra da cadeia. Isso costuma gerar contas mais simples e menos chance de erro na prova.

Passo 3

Reescrevendo a função usando potência:
y(t)=t\,(t^{2}+1)^{-1/2}.
Aqui foi usado que \sqrt{t^{2}+1}=(t^{2}+1)^{1/2}, então dividir por \sqrt{t^{2}+1} é multiplicar por (t^{2}+1)^{-1/2}.

Passo 4

Lembrando as regras que vamos usar:
  • Regra do produto: se \displaystyle y(t)=u(t)\,v(t), então
y'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t),
onde u'(t) e v'(t) são as derivadas de u e v.
  • Regra da cadeia (caso polinomial/potência): se \displaystyle v(t)=\big(w(t)\big)^{n} com n constante, então
v'(t)=n\big(w(t)\big)^{n-1}\,w'(t),
onde w'(t) é a derivada da função interna w(t).
No nosso caso podemos tomar u(t)=t e v(t)=(t^{2}+1)^{-1/2}.

Passo 5

Calcular u'(t) e v'(t):
  • u(t)=t então
u'(t)=1.
  • v(t)=(t^{2}+1)^{-1/2}. Aplicando a regra da cadeia com w(t)=t^{2}+1 e n=-\tfrac{1}{2}:
w'(t)=\frac{d}{dt}(t^{2}+1)=2t,
v'(t)= -\tfrac{1}{2}\,(t^{2}+1)^{-3/2}\cdot 2t.
Simplificando os fatores numéricos:
v'(t)= -t\,(t^{2}+1)^{-3/2}.

Passo 6

Agora aplicar a regra do produto:
y'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Substituindo u'(t)=1, v(t)=(t^{2}+1)^{-1/2}, u(t)=t e v'(t)=-t\,(t^{2}+1)^{-3/2}, obtemos
y'(t)=(t^{2}+1)^{-1/2}+t\big(-t\,(t^{2}+1)^{-3/2}\big).
Ou seja,
y'(t)=(t^{2}+1)^{-1/2}-t^{2}(t^{2}+1)^{-3/2}.

Passo 7

Fatorando o fator comum (t^{2}+1)^{-3/2} para simplificar:
(t^{2}+1)^{-1/2}=(t^{2}+1)\,(t^{2}+1)^{-3/2},
portanto
y'(t)=\big((t^{2}+1)-t^{2}\big)\,(t^{2}+1)^{-3/2}=1\cdot (t^{2}+1)^{-3/2}.
Assim a expressão final simplificada para a derivada é (t^{2}+1)^{-3/2}.

Resposta

y'(t)=\frac{1}{(t^{2}+1)^{3/2}}

Exercícios relacionados