no intervalo [0,1] e pede o comprimento da curva nesse intervalo. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função parâmetro é t com intervalo [0,1].
As componentes da curva são \beta_1(t)=\operatorname{sen}3t, \beta_2(t)=\cos3t e \beta_3(t)=2t^{3/2}.
O comprimento de uma curva parametrizada por \beta(t) em [a,b] é o que precisamos calcular.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada de forma didática): para uma curva suave \beta:[a,b]\to\mathbb{R}^3, o comprimento L no intervalo [a,b] é
L=\int_a^b \big\|\beta'(t)\big\|\,dt,
onde \beta'(t) é o vetor derivada componente a componente e \|\cdot\| é a norma euclidiana (ou seja, a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes). Intuição rápida: pensamos na curva como sendo aproximada por muitos pequenos segmentos retos; o comprimento total é a soma (integral) desses comprimentos infinitesimais, cada um dado por \|\beta'(t)\|\,dt.
Passo 3
Derivamos cada componente da curva (explico passo a passo):
Derivada de \beta_1(t)=\operatorname{sen}3t. Usando a regra da cadeia, \dfrac{d}{dt}\sin(3t)=3\cos(3t). Logo \beta_1'(t)=3\cos3t.
Derivada de \beta_2(t)=\cos3t. Novamente regra da cadeia, \dfrac{d}{dt}\cos(3t)=-3\sin(3t). Logo \beta_2'(t)=-3\sin3t.
Derivada de \beta_3(t)=2t^{3/2}. Usamos a regra da potência: \dfrac{d}{dt}t^{3/2}=\tfrac{3}{2}t^{1/2}. Multiplicando por 2 dá \beta_3'(t)=2\cdot\tfrac{3}{2}t^{1/2}=3t^{1/2}.
Integramos \int (1+t)^{1/2}\,dt. Pode-se ver isso usando a substituição simples u=1+t (ou aplicando a regra da potência diretamente). Faço a substituição para ficar claro: