Questão 3. ( 2,0 ptos.) Calcule o comprimento da curva no intervalo indicado, \beta(t)= \left(\operatorname{sen} 3 t, \cos 3 t, 2 t^{3 / 2}\right) no intervalo [0,1]

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\beta(t)=\big(\operatorname{sen}3t,\;\cos3t,\;2t^{3/2}\big)
no intervalo [0,1] e pede o comprimento da curva nesse intervalo. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função parâmetro é t com intervalo [0,1].
  • As componentes da curva são \beta_1(t)=\operatorname{sen}3t, \beta_2(t)=\cos3t e \beta_3(t)=2t^{3/2}.
  • O comprimento de uma curva parametrizada por \beta(t) em [a,b] é o que precisamos calcular.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada de forma didática): para uma curva suave \beta:[a,b]\to\mathbb{R}^3, o comprimento L no intervalo [a,b] é
L=\int_a^b \big\|\beta'(t)\big\|\,dt,
onde \beta'(t) é o vetor derivada componente a componente e \|\cdot\| é a norma euclidiana (ou seja, a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes). Intuição rápida: pensamos na curva como sendo aproximada por muitos pequenos segmentos retos; o comprimento total é a soma (integral) desses comprimentos infinitesimais, cada um dado por \|\beta'(t)\|\,dt.

Passo 3

Derivamos cada componente da curva (explico passo a passo):
  • Derivada de \beta_1(t)=\operatorname{sen}3t. Usando a regra da cadeia, \dfrac{d}{dt}\sin(3t)=3\cos(3t). Logo \beta_1'(t)=3\cos3t.
  • Derivada de \beta_2(t)=\cos3t. Novamente regra da cadeia, \dfrac{d}{dt}\cos(3t)=-3\sin(3t). Logo \beta_2'(t)=-3\sin3t.
  • Derivada de \beta_3(t)=2t^{3/2}. Usamos a regra da potência: \dfrac{d}{dt}t^{3/2}=\tfrac{3}{2}t^{1/2}. Multiplicando por 2 \beta_3'(t)=2\cdot\tfrac{3}{2}t^{1/2}=3t^{1/2}.
Portanto
\beta'(t)=\big(3\cos3t,\;-3\sin3t,\;3t^{1/2}\big).

Passo 4

Calculamos o quadrado da norma \|\beta'(t)\|^2 (vai facilitar simplificar):
\|\beta'(t)\|^2=(3\cos3t)^2+(-3\sin3t)^2+(3t^{1/2})^2.
Isso é
\|\beta'(t)\|^2=9\cos^2 3t+9\sin^2 3t+9t.
Agora usamos a identidade trigonométrica básica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. Assim
9\cos^2 3t+9\sin^2 3t=9(\cos^2 3t+\sin^2 3t)=9.
Portanto
\|\beta'(t)\|^2=9+9t=9(1+t).

Passo 5

Tomando a raiz para obter a norma:
\|\beta'(t)\|= \sqrt{9(1+t)} = 3\sqrt{1+t}.
Observação: aqui a raiz é positiva porque norma é sempre não negativa.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do comprimento:
L=\int_0^1 \|\beta'(t)\|\,dt = \int_0^1 3\sqrt{1+t}\,dt = 3\int_0^1 (1+t)^{1/2}\,dt.
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 7

Integramos \int (1+t)^{1/2}\,dt. Pode-se ver isso usando a substituição simples u=1+t (ou aplicando a regra da potência diretamente). Faço a substituição para ficar claro:
  • Seja u=1+t. Então du=dt.
  • Quando t=0, u=1. Quando t=1, u=2.
    A integral fica
\int_0^1 (1+t)^{1/2}\,dt = \int_{u=1}^{u=2} u^{1/2}\,du.
A primitiva de u^{1/2} é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Então
\int_{1}^{2} u^{1/2}\,du = \left.\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right|_{1}^{2} = \dfrac{2}{3}\big(2^{3/2}-1^{3/2}\big).
Voltando ao t e multiplicando pelo fator 3 que tínhamos:
L = 3\cdot \dfrac{2}{3}\big(2^{3/2}-1\big) = 2\big(2^{3/2}-1\big).

Passo 8

Simplificamos 2^{3/2}: como 2^{3/2}=(\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}. Portanto
L = 2\big(2\sqrt{2}-1\big) = 4\sqrt{2}-2.
Esse é o comprimento exato da curva no intervalo [0,1].

Resposta

4\sqrt{2}-2

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