Questão 4. ( 2,0 ptos.) Determine a tangente no seu ponto duplo da curva plana x=t^{2} e y=t^{3}-4 t para t \in(-\infty,+\infty).
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica definida por x=t^{2} e y=t^{3}-4t, com t\in(-\infty,+\infty), e pede: determinar a tangente no seu ponto duplo.
Informações dadas:
x(t)=t^{2}.
y(t)=t^{3}-4t.
O que se pede:
Identificar o(s) ponto(s) duplo(s) (ponto de auto-interseção onde a curva passa pelo mesmo ponto para valores diferentes de t).
Determinar a(s) reta(s) tangente(s) à curva nesse(s) ponto(s).
Passo 2
O que é um ponto duplo (auto-interseção) para uma curva paramétrica?
Significa que existem t_{1} e t_{2} distintos tais que
Aplicando ao nosso caso, da primeira igualdade temos
t_{1}^{2}=t_{2}^{2}.
Essa igualdade implica que t_{2}=t_{1} ou t_{2}=-t_{1}. A solução t_{2}=t_{1} é trivial (mesmo parâmetro) e não dá ponto duplo. Então devemos investigar a possibilidade t_{2}=-t_{1} e exigir ainda y(t_{1})=y(-t_{1}).
Passo 3
Igualando y(t) e y(-t) para testar o caso t_{2}=-t_{1}:
y(t)=t^{3}-4t, \qquad y(-t)=-t^{3}+4t.
Impondo y(t)=y(-t) obtemos
t^{3}-4t = -t^{3}+4t.
Somando t^{3} em ambos os lados e somando 4t em ambos os lados:
2t^{3}-8t=0.
Fatorando:
2t(t^{2}-4)=0.
Das raízes temos t=0 ou t^{2}=4, ou seja t=0,\;t=2,\;t=-2.
t=0 dá t_{2}=-t_{1}=0, que não fornece dois parâmetros distintos, então não é ponto duplo relevante.
t=2 e t=-2 fornecem o par (t_{1},t_{2})=(2,-2) (ou vice-versa), com t_{1}\neq t_{2}. Portanto há um ponto duplo associado a esses dois parâmetros.
Calculemos as coordenadas desse ponto usando t=2 (ou t=-2):
x(2)=2^{2}=4, \qquad y(2)=2^{3}-4\cdot2=8-8=0.
Logo o ponto duplo é (4,0).
Passo 4
Agora vamos achar as retas tangentes nesse ponto para cada parâmetro que o alcança (t=2 e t=-2).
Regra prática: o vetor tangente à curva no parâmetro t é (x'(t),y'(t)). Se x'(t)\neq0, a inclinação da tangente é
Observação: x'(2) e x'(-2) são ambos diferentes de zero, então não há tangente vertical nesses parâmetros. Temos duas tangentes distintas passando pelo mesmo ponto (4,0), com inclinações 2 e -2.
Passo 6
Obter as equações das retas tangentes usando a forma ponto-inclinação: reta com inclinação m passando por (x_{0},y_{0}) é