Questão 4. ( 2,0 ptos.) Determine a tangente no seu ponto duplo da curva plana x=t^{2} e y=t^{3}-4 t para t \in(-\infty,+\infty).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica definida por x=t^{2} e y=t^{3}-4t, com t\in(-\infty,+\infty), e pede: determinar a tangente no seu ponto duplo.
Informações dadas:
  • x(t)=t^{2}.
  • y(t)=t^{3}-4t.
    O que se pede:
  • Identificar o(s) ponto(s) duplo(s) (ponto de auto-interseção onde a curva passa pelo mesmo ponto para valores diferentes de t).
  • Determinar a(s) reta(s) tangente(s) à curva nesse(s) ponto(s).

Passo 2

O que é um ponto duplo (auto-interseção) para uma curva paramétrica?
Significa que existem t_{1} e t_{2} distintos tais que
x(t_{1})=x(t_{2}) \qquad\text{e}\qquad y(t_{1})=y(t_{2}), \qquad t_{1}\neq t_{2}.
Aplicando ao nosso caso, da primeira igualdade temos
t_{1}^{2}=t_{2}^{2}.
Essa igualdade implica que t_{2}=t_{1} ou t_{2}=-t_{1}. A solução t_{2}=t_{1} é trivial (mesmo parâmetro) e não dá ponto duplo. Então devemos investigar a possibilidade t_{2}=-t_{1} e exigir ainda y(t_{1})=y(-t_{1}).

Passo 3

Igualando y(t) e y(-t) para testar o caso t_{2}=-t_{1}:
y(t)=t^{3}-4t, \qquad y(-t)=-t^{3}+4t.
Impondo y(t)=y(-t) obtemos
t^{3}-4t = -t^{3}+4t.
Somando t^{3} em ambos os lados e somando 4t em ambos os lados:
2t^{3}-8t=0.
Fatorando:
2t(t^{2}-4)=0.
Das raízes temos t=0 ou t^{2}=4, ou seja t=0,\;t=2,\;t=-2.
  • t=0 t_{2}=-t_{1}=0, que não fornece dois parâmetros distintos, então não é ponto duplo relevante.
  • t=2 e t=-2 fornecem o par (t_{1},t_{2})=(2,-2) (ou vice-versa), com t_{1}\neq t_{2}. Portanto há um ponto duplo associado a esses dois parâmetros.
Calculemos as coordenadas desse ponto usando t=2 (ou t=-2):
x(2)=2^{2}=4, \qquad y(2)=2^{3}-4\cdot2=8-8=0.
Logo o ponto duplo é (4,0).

Passo 4

Agora vamos achar as retas tangentes nesse ponto para cada parâmetro que o alcança ( t=2 e t=-2).
Regra prática: o vetor tangente à curva no parâmetro t é (x'(t),y'(t)). Se x'(t)\neq0, a inclinação da tangente é
\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}.
Calculemos as derivadas:
x'(t)=\frac{d}{dt}t^{2}=2t, \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}-4t\bigr)=3t^{2}-4.

Passo 5

Calcular a inclinação em t=2:
x'(2)=2\cdot2=4, \qquad y'(2)=3\cdot2^{2}-4=3\cdot4-4=12-4=8,
portanto
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=2}=\frac{8}{4}=2.
Calcular a inclinação em t=-2:
x'(-2)=2\cdot(-2)=-4, \qquad y'(-2)=3\cdot(-2)^{2}-4=3\cdot4-4=12-4=8,
portanto
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=-2}=\frac{8}{-4}=-2.
Observação: x'(2) e x'(-2) são ambos diferentes de zero, então não há tangente vertical nesses parâmetros. Temos duas tangentes distintas passando pelo mesmo ponto (4,0), com inclinações 2 e -2.

Passo 6

Obter as equações das retas tangentes usando a forma ponto-inclinação: reta com inclinação m passando por (x_{0},y_{0}) é
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aqui (x_{0},y_{0})=(4,0).
Para m=2:
y-0=2(x-4)\quad\Rightarrow\quad y=2(x-4).
Para m=-2:
y-0=-2(x-4)\quad\Rightarrow\quad y=-2(x-4).
Podemos também expandir:
y=2x-8 \qquad\text{e}\qquad y=-2x+8.

Resposta

y=2(x-4)
y=-2(x-4)

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