Questão 1. (1,0 pto.) Determine a curva
tal que
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A derivada da curva é
. - A condição inicial é
.
A pergunta é: determinar explicitamente a curvaque satisfaz esses dados.
Passo 2
Ideia e conceito usado (explicado passo a passo).
- Uma curva vetorial
em é dada por três funções escalares . - A derivada
é tomada componente a componente; assim, saber significa conhecer as derivadas . - Para recuperar
a partir de usamos antiderivação componente a componente: existe uma constante vetorial tal que
- Fórmulas de integração que vamos usar (lembrando o que cada símbolo significa):
-
. Aqui é a variável de integração e o resultado é uma primitiva cuja derivada reproduz . -
. A função é sua própria primitiva. -
.
-
Passo 3
Aplicar a antiderivação componente a componente.
- Para a primeira componente,
, uma primitiva é
- Para a segunda componente,
, uma primitiva é
- Para a terceira componente,
, uma primitiva é
Portanto, em forma vetorial,
onde
são constantes reais a determinar pela condição inicial.
Passo 4
Usar a condição inicial
para encontrar as constantes.
- Avaliando
em obtemos
- Igualando com
obtemos o sistema para as constantes: -
. -
. -
.
-
Passo 5
Escrever a solução final e verificar rapidamente (confirmação).
- Substituindo as constantes em
obtemos
- Verificação por diferenciação e condição inicial:
-
, que coincide com o dado. -
, que coincide com a condição inicial.
-
- Tudo confere, logo a curva encontrada é correta.