Questão 1. (1,0 pto.) Determine a curva \alpha tal que \alpha(0)=(0,-5,1) e \alpha^{\prime}(t)=\left(t, e^{t}, t^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A derivada da curva é \alpha^{\prime}(t)=\left(t, e^{t}, t^{2}\right).
  • A condição inicial é \alpha(0)=(0,-5,1).
    A pergunta é: determinar explicitamente a curva \alpha(t) que satisfaz esses dados.

Passo 2

Ideia e conceito usado (explicado passo a passo).
  • Uma curva vetorial \alpha(t) em \mathbb{R}^{3} é dada por três funções escalares \alpha(t)=\big(\alpha_{1}(t),\alpha_{2}(t),\alpha_{3}(t)\big).
  • A derivada \alpha^{\prime}(t) é tomada componente a componente; assim, saber \alpha^{\prime}(t) significa conhecer as derivadas \alpha_{1}^{\prime}(t),\alpha_{2}^{\prime}(t),\alpha_{3}^{\prime}(t).
  • Para recuperar \alpha(t) a partir de \alpha^{\prime}(t) usamos antiderivação componente a componente: existe uma constante vetorial C=(C_{1},C_{2},C_{3}) tal que
\alpha(t)=\left(\int \alpha_{1}^{\prime}(t)\,dt,\;\int \alpha_{2}^{\prime}(t)\,dt,\;\int \alpha_{3}^{\prime}(t)\,dt\right)+C.
  • Fórmulas de integração que vamos usar (lembrando o que cada símbolo significa):
    • \displaystyle \int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}. Aqui t é a variável de integração e o resultado é uma primitiva cuja derivada reproduz t.
    • \displaystyle \int e^{t}\,dt=e^{t}. A função e^{t} é sua própria primitiva.
    • \displaystyle \int t^{2}\,dt=\frac{t^{3}}{3}.

Passo 3

Aplicar a antiderivação componente a componente.
  • Para a primeira componente, \alpha_{1}^{\prime}(t)=t, uma primitiva é
\alpha_{1}(t)=\frac{t^{2}}{2}+C_{1}.
  • Para a segunda componente, \alpha_{2}^{\prime}(t)=e^{t}, uma primitiva é
\alpha_{2}(t)=e^{t}+C_{2}.
  • Para a terceira componente, \alpha_{3}^{\prime}(t)=t^{2}, uma primitiva é
\alpha_{3}(t)=\frac{t^{3}}{3}+C_{3}.
Portanto, em forma vetorial,
\alpha(t)=\left(\frac{t^{2}}{2}+C_{1},\;e^{t}+C_{2},\;\frac{t^{3}}{3}+C_{3}\right),
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes reais a determinar pela condição inicial.

Passo 4

Usar a condição inicial \alpha(0)=(0,-5,1) para encontrar as constantes.
  • Avaliando \alpha(t) em t=0 obtemos
\alpha(0)=\left(\frac{0^{2}}{2}+C_{1},\;e^{0}+C_{2},\;\frac{0^{3}}{3}+C_{3}\right)=(C_{1},\;1+C_{2},\;C_{3}).
  • Igualando com \alpha(0)=(0,-5,1) obtemos o sistema para as constantes:
    • C_{1}=0.
    • 1+C_{2}=-5 \Longrightarrow C_{2}=-6.
    • C_{3}=1.

Passo 5

Escrever a solução final e verificar rapidamente (confirmação).
  • Substituindo as constantes em \alpha(t) obtemos
\alpha(t)=\left(\frac{t^{2}}{2},\;e^{t}-6,\;\frac{t^{3}}{3}+1\right).
  • Verificação por diferenciação e condição inicial:
    • \alpha^{\prime}(t)=\left(\frac{d}{dt}\frac{t^{2}}{2},\;\frac{d}{dt}(e^{t}-6),\;\frac{d}{dt}\frac{t^{3}}{3}\right)=\left(t,\;e^{t},\;t^{2}\right), que coincide com o dado.
    • \alpha(0)=\left(0,\;e^{0}-6,\;0+1\right)=(0,-5,1), que coincide com a condição inicial.
  • Tudo confere, logo a curva encontrada é correta.

Resposta

\alpha(t)=\left(\dfrac{t^{2}}{2},\;e^{t}-6,\;\dfrac{t^{3}}{3}+1\right)

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