Questão 1 (2,5 ptos) - Um disco de raio \mathrm{r}=60 \mathrm{~cm} e massa \mathrm{m}=4,0 \mathrm{~kg} desliza sobre um plano inclinado. Entre o disco e o plano existe uma película de óleo de viscosidade dinămica \mu=0,05 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} e massa especifica \rho=900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. O disco desliza com velocidade constante \mathrm{v}=0,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao longo do plano. Supondo que a distribuição de velocidade na película de óleo seja linear, reponda o que se pede nos itens descritos a seguir.
Se uma força de 30 N for aplicada para puxar o disco para baixo na superficie inclinada, qual a espessura do filme de óleo que garante o movimento com velocidade constante na descida?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a espessura da película de óleo que garante movimento com velocidade constante quando uma força de 30\\ \mathrm{N} é aplicada puxando o disco para baixo ao longo do plano.
Dados fornecidos:
r = 60\\ \mathrm{cm} = 0,60\\ \mathrm{m}
m = 4,0\\ \mathrm{kg}
\mu = 0,05\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}
\rho = 900\\ \mathrm{kg/m^{3}}
v = 0,2\\ \mathrm{m/s}
Força aplicada: F_{\text{app}}=30\\ \mathrm{N}.
Assunção mencionada no enunciado: a distribuição de velocidade na película de óleo é linear.
O que se pede: encontrar a espessura h da película de óleo que permite velocidade constante v quando a força de 30\\ \mathrm{N} puxa o disco para baixo.

Passo 2

Conceito físico que usamos (explicação didática): a película de óleo é um fluido viscoso newtoniano. Para um escoamento simples entre duas superfícies paralelas com perfil de velocidade linear (caso conhecido como escoamento de Couette), a tensão de cisalhamento (shear stress) no fluido é dada por:
\tau = \mu\frac{dv}{dy}
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{N/m^{2}});
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (em \mathrm{N\cdot s/m^{2}});
  • \dfrac{dv}{dy} é o gradiente de velocidade perpendicular às camadas do fluido (em \mathrm{s^{-1}}).
Se a velocidade varia linearmente de v (na superfície móvel) a 0 (na superfície fixa) ao longo da espessura h, então:
\frac{dv}{dy}=\frac{v-0}{h}=\frac{v}{h}.
Portanto a tensão de cisalhamento fica:
\tau=\mu\frac{v}{h}.

Passo 3

Força viscosa total que age sobre a face do disco: a tensão de cisalhamento atua sobre a área de contato entre o disco e a película. A área da face circular do disco é
A=\pi r^{2}.
A força viscosa que se opõe ao movimento é então
F_{\text{visc}}=\tau\cdot A=\mu\frac{v}{h}\cdot A.
Aqui:
  • F_{\text{visc}} tem unidades de \mathrm{N};
  • A tem unidades de \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Equilíbrio de forças para movimento com velocidade constante: quando a velocidade é constante, a soma das forças ao longo da direção do movimento é zero. O enunciado fornece apenas a força aplicada F_{\text{app}}=30\\ \mathrm{N} que puxa o disco para baixo. Não foi dado o ângulo do plano nem outra força ao longo da direção do movimento, então adotamos o balanço mais direto e natural dado os dados disponíveis: a força aplicada é equilibrada pela força viscosa do filme. (Se houvesse componente de peso conhecida, ela também entraria, mas o ângulo não foi fornecido.) Assim:
F_{\text{app}}=F_{\text{visc}}.

Passo 5

Substituindo a expressão de F_{\text{visc}} e isolando h:
F_{\text{app}}=\mu\frac{v}{h}\cdot A \quad\Longrightarrow\quad h=\mu\frac{vA}{F_{\text{app}}}.

Passo 6

Calcular numericamente cada termo. Primeiro a área:
A=\pi r^{2}=\pi(0,60)^{2}=\pi\cdot 0,36\approx 1,130973\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora calcular o numerador \mu v A:
\mu v A = 0,05\cdot 0,2\cdot 1,130973 \approx 0,0113097\\ \mathrm{N\cdot m}.
Finalmente:
h=\frac{0,0113097}{30}\\ \mathrm{m}\approx 0,00037699\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação e verificação de ordens de grandeza: o valor obtido é
h\approx 3,77\times 10^{-4}\\ \mathrm{m},
que corresponde a cerca de 0,38\\ \mathrm{mm}. É uma espessura razoável para uma película lubrificante fina. Observação: os dados de massa m e densidade \rho não foram necessários para esse balanço simples porque o ângulo do plano não foi fornecido; usamos apenas o equilíbrio entre a força aplicada e a resistência viscosa, consistente com a hipótese do enunciado.

Resposta

h \approx 3,77\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}

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