Questão 1 (2,5 ptos) - Um disco de raio
e massa
desliza sobre um plano inclinado. Entre o disco e o plano existe uma película de óleo de viscosidade dinămica
e massa especifica
. O disco desliza com velocidade constante
ao longo do plano. Supondo que a distribuição de velocidade na película de óleo seja linear, reponda o que se pede nos itens descritos a seguir.
Se uma força de 30 N for aplicada para puxar o disco para baixo na superficie inclinada, qual a espessura do filme de óleo que garante o movimento com velocidade constante na descida?
Se uma força de 30 N for aplicada para puxar o disco para baixo na superficie inclinada, qual a espessura do filme de óleo que garante o movimento com velocidade constante na descida?
Passo 1
O enunciado pede: determinar a espessura da película de óleo que garante movimento com velocidade constante quando uma força de
é aplicada puxando o disco para baixo ao longo do plano.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Força aplicada:
.
Assunção mencionada no enunciado: a distribuição de velocidade na película de óleo é linear.
O que se pede: encontrar a espessura da película de óleo que permite velocidade constante
quando a força de
puxa o disco para baixo.
Assunção mencionada no enunciado: a distribuição de velocidade na película de óleo é linear.
O que se pede: encontrar a espessura
Passo 2
Conceito físico que usamos (explicação didática): a película de óleo é um fluido viscoso newtoniano. Para um escoamento simples entre duas superfícies paralelas com perfil de velocidade linear (caso conhecido como escoamento de Couette), a tensão de cisalhamento (shear stress) no fluido é dada por:
onde:
-
é a tensão de cisalhamento (em ); -
é a viscosidade dinâmica do fluido (em ); -
é o gradiente de velocidade perpendicular às camadas do fluido (em ).
Se a velocidade varia linearmente de
(na superfície móvel) a
(na superfície fixa) ao longo da espessura
, então:
Portanto a tensão de cisalhamento fica:
Passo 3
Força viscosa total que age sobre a face do disco: a tensão de cisalhamento atua sobre a área de contato entre o disco e a película. A área da face circular do disco é
A força viscosa que se opõe ao movimento é então
Aqui:
-
tem unidades de ; -
tem unidades de .
Passo 4
Equilíbrio de forças para movimento com velocidade constante: quando a velocidade é constante, a soma das forças ao longo da direção do movimento é zero. O enunciado fornece apenas a força aplicada
que puxa o disco para baixo. Não foi dado o ângulo do plano nem outra força ao longo da direção do movimento, então adotamos o balanço mais direto e natural dado os dados disponíveis: a força aplicada é equilibrada pela força viscosa do filme. (Se houvesse componente de peso conhecida, ela também entraria, mas o ângulo não foi fornecido.) Assim:
Passo 5
Substituindo a expressão de
e isolando
:
Passo 6
Calcular numericamente cada termo. Primeiro a área:
Agora calcular o numerador
:
Finalmente:
Passo 7
Interpretação e verificação de ordens de grandeza: o valor obtido é
que corresponde a cerca de
. É uma espessura razoável para uma película lubrificante fina. Observação: os dados de massa
e densidade
não foram necessários para esse balanço simples porque o ângulo do plano não foi fornecido; usamos apenas o equilíbrio entre a força aplicada e a resistência viscosa, consistente com a hipótese do enunciado.