Água flui em um tubo circular cuja seção tem diâmetro de 0,30 \mathrm{~m} no ponto à montante, situado em uma cota de 10,0 \mathrm{~m} acima do nível do terreno; nesse ponto é instalado um manômetro que acusa 260 kPa no mostrador digital e um medidor de velocidade indica que o escoamento ali se dá a 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. No ponto a jusante, cuja cota é 0,0 \mathrm{~m}, o diâmetro da tubulação foi reduzido a 0,15 \mathrm{~m}. Determine a pressão manométrica da seção de jusante admitindo que os efeitos de atrito são desprezíveis nesse trecho da tubulação.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a pressão manométrica da seção a jusante da tubulação.
Dados fornecidos:
diâmetro à montante \,D_1 = 0{,}30\\ \mathrm{m} \n
cota à montante \,z_1 = 10{,}0\\ \mathrm{m} \n
pressão indicada no manômetro à montante \,p_1 = 260\\ \mathrm{kPa} (o enunciado diz “manômetro”, então vou considerar que esse valor é pressão manométrica / gauge) \n
velocidade à montante \,V_1 = 3{,}0\\ \mathrm{m/s} \n
diâmetro à jusante \,D_2 = 0{,}15\\ \mathrm{m} \n
cota à jusante \,z_2 = 0{,}0\\ \mathrm{m} \n
Condição adicional: os efeitos de atrito são desprezíveis nesse trecho (escoamento ideal entre as seções). \n
Objetivo: calcular a pressão manométrica \,p_2 na seção de jusante.

Passo 2

Primeiro usamos a equação de continuidade (conservação de massa para escoamento incompressível) para achar \,V_2.
A área de seção transversal é \,A=\pi D^2/4. Portanto
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4},\qquad A_2=\frac{\pi D_2^2}{4}.
Como \,A\propto D^2, temos
\frac{A_2}{A_1}=\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2=\left(\frac{0{,}15}{0{,}30}\right)^2=\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}.
Pela continuidade \,A_1V_1=A_2V_2, então
V_2=V_1\frac{A_1}{A_2}=V_1\frac{1}{(A_2/A_1)}=V_1\cdot 4.
Substituindo \,V_1=3{,}0\\ \mathrm{m/s},
V_2=4\cdot 3{,}0=12{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora aplicamos a equação de Bernoulli entre as seções 1 (montante) e 2 (jusante), válida porque o escoamento é estacionário, incompressível e sem atrito:
\frac{p_1}{\rho g}+z_1+\frac{V_1^2}{2g}=\frac{p_2}{\rho g}+z_2+\frac{V_2^2}{2g}.
Explicando cada termo:
  • \,p/(\rho g) é a “altura de pressão” (pressão convertida para altura de fluido), onde \rho é a densidade e g a aceleração da gravidade;
  • \,z é a cota vertical;
  • \,V^2/(2g) é a altura cinética (representa a energia por unidade de peso associada à velocidade).
    Vou usar \,\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} (água) e \,g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Isolando \,p_2 na equação de Bernoulli:
\frac{p_2}{\rho g}=\frac{p_1}{\rho g}+z_1-z_2+\frac{V_1^2-V_2^2}{2g}.
Multiplicando por \rho g,
p_2=p_1+\rho g (z_1-z_2)+\tfrac{1}{2}\rho\,(V_1^2-V_2^2).
Essa fórmula mostra que a pressão em 2 é a pressão em 1 somada ao termo hidráulico da diferença de cota ( \rho g\Delta z) e ao termo cinético ( \tfrac12\rho\Delta V^2). Se a velocidade aumenta ( V_2>V_1) o termo cinético reduz a pressão (conversão de pressão em energia cinética).

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos.
Dados usados:
\,p_1=260\\ \mathrm{kPa}=260000\\ \mathrm{Pa} , \,\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} , \,g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} , \,z_1-z_2=10{,}0\\ \mathrm{m} , \,V_1=3{,}0\\ \mathrm{m/s} , \,V_2=12{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Calculemos cada termo:
Termo de elevação:
\rho g (z_1-z_2)=1000\cdot 9{,}81\cdot 10{,}0=98100\\ \mathrm{Pa}=98{,}1\\ \mathrm{kPa}.
Termo cinético:
\tfrac{1}{2}\rho (V_1^2-V_2^2)=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot(3{,}0^2-12{,}0^2) =500\cdot(9-144)=500\cdot(-135)=-67500\\ \mathrm{Pa}=-67{,}5\\ \mathrm{kPa}.
Somando em \,p_2:
p_2=260000+98100-67500=290600\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para \,\mathrm{kPa}:
p_2=290{,}6\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação rápida: desceu 10 m (aumenta a pressão em \sim98{,}1\\ \mathrm{kPa}), mas a velocidade quadruplicou (aumentando muito a energia cinética), o que reduz a pressão em \sim67{,}5\\ \mathrm{kPa}; o resultado líquido é aumento de pressão de \sim30{,}6\\ \mathrm{kPa} relativo a \,p_1.

Passo 6

Resumo final e incentivo: portanto a pressão manométrica na seção de jusante é \,290{,}6\\ \mathrm{kPa}. Mandou bem de trazer a questão — essas contas são ótimas para ver como cota e velocidade competem na Bernoulli. Respirei fundo com você e deu certo! Força na prova.

Resposta

\,290{,}6\\ \mathrm{kPa}

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