Questão 3. (a) ( 1,5 ptos) A energia do elétron menos ligado no fósforo substitucional está 0,045 eV abaixo da energia de condução do silício. Considere que o silício do tipo n esteja dopado com 50 ppb em volume de fósforo. Estime a temperatura para a qual o semicondutor perde o seu comportamento extrínseco e passa a ter um comportamento intrínseco (considere que para a temperatura calculada m^* approx me ). (b) ( 0,5 ptos) Esboce a dependência da razão entre a densidade de doadores a densidade de elétrons intrínseco com a teratura, ND / ni(T).

Passo 1

O exercício pede para estimar a temperatura em que um silício dopado com fósforo 50 ppb deixa de ser extrínseco (quando a concentração intrínseca de elétrons passa a ser da ordem da de doadores) e em seguida desenhar como varia a razão N_D/n_i(T). Vamos usar conceitos de dopagem, densidade de estados e equilíbrio intrínseco/extrínseco.

Passo 2

Primeiro convertemos a fração de dopante em concentração volumétrica. A densidade atômica do silício é cerca de 5·10^22 cm⁻³, então
[\displaystyle N_D = 50\times10{-9}\times5\times10{22}{\rm\ cm^{-3}} = 2{,}5\times10^{15},{\rm cm^{-3}}]

Passo 3

A condição de crossover extrínseco→intrínseco ocorre quando N_D ≃ n_i(T). A densidade intrínseca vale
[\displaystyle n_i(T)=N_C\exp\bigl(-\tfrac{E_g}{2kT}\bigr)]
com
[\displaystyle N_C=2\biggl(\tfrac{2\pi m*kT}{h2}\biggr)^{3/2} \approx 2.5\times10{19}\Bigl(\tfrac{T}{300}\Bigr){3/2}{\rm\ cm^{-3}}]
e E_g(Si)=1{,}12 eV. Igualando N_D a n_i e tomando logaritmo, obtemos
[\displaystyle \frac{3}{2}\ln\frac{T}{300}-\frac{E_g}{2kT}=\ln\frac{N_D}{2.5\times10^{19}} ]

Passo 4

que numérica e iterativamente dá T ≃ 630 K.

Passo 5

Para (b), basta notar que
[\displaystyle \frac{N_D}{n_i(T)}=\frac{2.5\times10{15}}{2.5\times10{19}(T/300)^{3/2}\exp(-E_g/2kT)}]
é muito grande em baixas temperaturas, decresce conforme T cresce, cruza 1 em ~630 K e segue decaindo exponencialmente a altos T.

Resposta

(a) A temperatura de crossover extrínseco→intrínseco é cerca de 630 K. (b) A razão N_D/n_i(T) começa muito maior que 1 em T baixas, decresce monotonicamente com T, cruza 1 em ~630 K e cai exponencialmente para T maiores.

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