Questão 2. (2,0 ptos) Determine, em relação à energia de condução EC, o valor de energia onde se tem a maior densidade de lacuns semicondutor intrínseco.

Passo 1

O enunciado pede a energia E (medida a partir de EC) em que a densidade de lacunas por energia
;p(E) em um semicondutor intrínseco atinge valor máximo. Vamos usar o modelo de bandas com densidade de estados no valence band e a estatística de Fermi–Dirac em aproximação não degenerada.

Passo 2

A densidade de lacunas por energia é dada por
p(E)=Dv(E),l[1-f(E)r],
onde Dv(E) é a densidade de estados eletrônicos na banda de valência e f(E) a função de ocupação de Fermi–Dirac para elétrons.

Passo 3

No modelo efetivo de massa, para E<= Ev vale
Dv(E)=AvraizEv-E
e em regime não degenerado
1-f(E)approx exp!l(tfracE-EfkTr)
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p(E)propto raizEv-E;exp!l(tfracE-EfkTr)

Passo 4

Defina x=Ev-E, de modo que
p(x)propto raizx,exp!l(tfracEv -x -EfkTr) =raizx,exp!l(tfracEv-EfkTr),exp!l(-tfracxkTr)
Como o fator expl(tfracEv-EfkTr) não depende de x, basta achar o máximo de
g(x)=raizx,exp!l(-tfracxkTr)

Passo 5

Para maximizar g(x) fazemos
ddxl(raizx,e^-x/(kT)r)=0 ;Longrightarrow; 12raizx,e^-x/(kT)-raizx,1kT,e^-x/(kT)=0
;Rightarrow;12x-1kT=0
;Rightarrow;x=tfrackT2
Voltando para E:
E=Ev - x = Ev - kT2

Passo 6

Como Ev = EC - Eg, obtemos a resposta medida a partir de EC:
E = l(EC - Egr) - kT2 = EC ;-;Eg ;-;kT2

Resposta

E = Ev - kT2 Long<=ftrightarrow E = EC - Eg - kT2

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