Questão 1 (3.0 pts) Em cada caso, calcule a integral:
.
Passo 1
O enunciado fornece a função e o domínio e pede a integral dupla sobre esse domínio. Especificamente:
- Função:
. - Domínio:
(ou seja, o disco de raio centrado na origem, restrito à região onde ).
O que se pede: calcular.
Passo 2
Por que trocar de coordenadas? Vou explicar a ideia passo a passo. A região
é parte de um disco centrado na origem, então coordenadas polares ficam muito naturais para descrever
. Nas coordenadas polares define-se:
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo. O elemento de área em polares é
Explicação do
: um retângulo polar elemental tem lados aproximadamente
e
(o comprimento angular ao raio
é
), então a área é
.
Passo 3
Substituir a função e o elemento de área em polares. Primeiro reescrevo a função:
Multiplicando pelo jacobiano
(que vem de
) obtemos a função a integrar em
:
Observação importante: a dependência em
cancelou — isso simplifica muito a integral.
Passo 4
Determinar os limites em
e
que descrevem
em polares. A condição do disco é
. A condição
vira
, isto é
quando
.
Para existir ponto com e
é necessário
, ou seja
. Os ângulos que satisfazem
são
Para existir ponto com
Portanto, para cada
nesse intervalo
varia de
até
. Conclusão: os limites são
Passo 5
Agora escrevo a integral dupla em polares com os limites encontrados:
Note que a integranda
não depende de
, então a integral interna em
é simples.
Passo 6
Calculo a integral interna em
:
Portanto a integral reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 7
Agora calculo a integral em
. Integro termo a termo:
Avalio nos limites
e
:
Passo 8
Simplifico usando
e
:
Portanto a integral dupla avalia exatamente
.