Calcule as integrais abaixo:
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
-
Há duas integrais a calcular:
(a), onde (bola unitária).
(b), onde . -
O que nos pedem: avaliar cada integral tripla sobre a região especificada.
Passo 2
Escolha de método para (a) e justificativa:
- A região
de (a) é a bola sólida de raio centrada na origem; a expressão depende apenas de . Isso sugere usar coordenadas esféricas, que simplificam quando aparece . - Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
com onde , e . - Elemento de volume:
. - Observação útil:
.
Passo 3
Montagem e cálculo da integral (a) em esféricas, com explicação passo a passo:
- Substituindo
na integranda, temos . Assim a integranda vira . - A integral sobre a bola
, , fica - Podemos separar as integrais angulares porque a integranda radial não depende de
: - Calcule as integrais angulares:
então o fator angular vale . - Resta a integral radial
- Para integrar isso, use a substituição
. Então Quando temos ; quando temos . - A integral torna-se
- Compute o resultado:
- Opcionalmente escrever
. Então o valor final da integral (a) é
Passo 4
Breve comentário didático sobre (a) (motivação e atalho para a prova):
- Sempre que a região é uma esfera e a integranda depende só de
, usar coordenadas esféricas costuma reduzir a integral tripla a uma integral unidimensional em multiplicada por . - A substituição
é um padrão: quando aparece junto com uma função de , observe que é proporcional a .
Passo 5
Escolha de método para (b) e justificativa:
- A região
dada por sugere coordenadas cilíndricas, já que aparece . - Em coordenadas cilíndricas usamos
com onde , . - Elemento de volume:
. - Note que
, então a integranda vira .
Passo 6
Determinação das cotas e cálculo da integral (b) passo a passo:
- A condição
em cilíndricas é . - Para
estar entre e é necessário . O ângulo varia de a . - Portanto um conjunto de limites conveniente é
- Escrevendo a integral em cilíndricas:
- A integral interna em
é . Assim - Calcule a integral em
: - Multiplicando pelo fator angular
, obtemos - Assim a integral (b) vale
.
Passo 7
Comentário final de incentivo:
- Beleza — as duas integrais caem usando mudanças de coordenadas naturais (esféricas para bola, cilíndricas para região com
). Na prova, reconhecer a simetria da região é o maior atalho; depois é só montar os limites com calma e executar integrais simples (substituição ou polinômios).