Questão 1 (3.0 pts) Em cada caso, calcule a integral: \int_{D} f(x, y) d A.
f(x, y)=x, \quad D:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leq 4 \\\ x^{2}+y^{2} \geq 2 x \\\ x \geq 0, y \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{D} f(x,y)\,dA
onde f(x,y)=x\) e a região \(D\) é dada por \[\begin{cases} x^{2}+y^{2} \leq 4,\\[4pt] x^{2}+y^{2} \geq 2x,\\[4pt] x \geq 0,\; y \geq 0. \end{cases}
Ou seja:
  • Pedimos o valor de \iint_{D} x\,dA\]. - As informações que temos são as três desigualdades acima que definem \(D.]

Passo 2

Vamos trocar para coordenadas polares porque as duas primeiras desigualdades envolvem x^{2}+y^{2}, que vira r^{2} em polares, e isso simplifica muito a descrição da região. Em polares usamos as fórmulas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
e o elemento de área transforma como
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicando por que aparece o fator r: um pequeno retângulo em polares tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, então a área é r\,dr\,d\theta. Sempre que fizer mudança para polares, lembre-se de multiplicar por esse jacobiano r.

Passo 3

Agora traduzimos cada condição de D para polares.
  1. x^{2}+y^{2}\leq 4 vira
r^{2}\leq 4 \quad\Rightarrow\quad 0\leq r\leq 2.
  1. x^{2}+y^{2}\geq 2x vira
r^{2}\geq 2r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r(r-2\cos\theta)\geq 0.
Como r\geq 0, essa desigualdade equivale a r=0 ou r\geq 2\cos\theta. Em termos de integração, a condição relevante é
r\geq 2\cos\theta.
  1. x\geq 0,\;y\geq 0 impõe que \theta esteja no primeiro quadrante:
0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}.
Combinando tudo, para cada \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] temos r variando entre o menor valor permitido r=2\cos\theta e o maior r=2. Observação: em \theta=\tfrac{\pi}{2} temos 2\cos\theta=0, então a integral inclui o segmento radial inteiro até r=2 nesse extremo — isso está consistente com as desigualdades originais.
Portanto os limites em polares são
0\leq \theta\leq \tfrac{\pi}{2},\qquad 2\cos\theta\leq r\leq 2.

Passo 4

Escrevendo a integral em coordenadas polares: f(x,y)=x=r\cos\theta e dA=r\,dr\,d\theta. Então o integrando fica
f(x,y)\,dA = (r\cos\theta)\cdot (r\,dr\,d\theta)= r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta.
A integral desejada é
\iint_{D} x\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=2\cos\theta}^{2} r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta.

Passo 5

Primeiro integramos em r. Como \cos\theta é constante em relação a r,
\int_{r=2\cos\theta}^{2} r^{2}\cos\theta\,dr = \cos\theta\int_{2\cos\theta}^{2} r^{2}\,dr = \cos\theta\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{2\cos\theta}^{2}.
Calculando as potências:
\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{2\cos\theta}^{2}=\frac{2^{3}}{3}-\frac{(2\cos\theta)^{3}}{3}=\frac{8}{3}-\frac{8\cos^{3}\theta}{3}=\frac{8}{3}\bigl(1-\cos^{3}\theta\bigr).
Multiplicando por \cos\theta obtemos
\int_{2\cos\theta}^{2} r^{2}\cos\theta\,dr = \frac{8}{3}\bigl(\cos\theta-\cos^{4}\theta\bigr).

Passo 6

Agora a integral fica só em \theta:
\iint_{D} x\,dA = \int_{0}^{\pi/2} \frac{8}{3}\bigl(\cos\theta-\cos^{4}\theta\bigr)\,d\theta = \frac{8}{3}\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta - \int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta\right).
Calculemos as duas integrais separadamente.

Passo 7

Primeira integral:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \left[\sin\theta\right]_{0}^{\pi/2}=1.
Segunda integral: usar identidade para \cos^{4}\theta.
Primeiro \cos^{2}\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Então
\cos^{4}\theta=(\cos^{2}\theta)^{2}=\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}\bigl(1+2\cos 2\theta+\cos^{2}2\theta\bigr).
Novamente \cos^{2}2\theta=\dfrac{1+\cos 4\theta}{2}. Substituindo:
\cos^{4}\theta = \frac{1}{4}\left(1+2\cos 2\theta+\frac{1+\cos 4\theta}{2}\right) = \frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2\theta+\frac{1}{8}\cos 4\theta.
Agora integramos de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2\theta+\frac{1}{8}\cos 4\theta\right)d\theta.
As integrais das cossenos com argumentos 2\theta e 4\theta são nulas no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}], porque geram funções seno avaliadas em múltiplos inteiros de \pi. Logo só resta o termo constante:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta = \frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}.

Passo 8

Voltando à expressão da integral:
\iint_{D} x\,dA = \frac{8}{3}\left(1 - \frac{3\pi}{16}\right).
Simplificando o segundo termo:
\frac{8}{3}\cdot\frac{3\pi}{16} = \frac{8\pi}{16} = \frac{\pi}{2}.
Portanto
\iint_{D} x\,dA = \frac{8}{3} - \frac{\pi}{2}.

Resposta

\frac{8}{3}-\frac{\pi}{2}

Exercícios relacionados