Questão 4 (3.0 pts.) Calcule as integrais abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- A região
é a bola unitária centrada na origem, ou seja todos os pontos com . - A função integranda é
. - A integral é uma integral de volume sobre uma região esférica.
Passo 2
Observação que simplifica muito o problema: em coordenadas esféricas usuais definimos
Logo
porque
. Assim a integranda depende apenas de
e pode ser escrita como
.
Passo 3
Relembrando coordenadas esféricas e o elemento de volume (aquelas fórmulas que valem ouro em provas):
- Coordenadas:
. - Intervalos:
para a bola unitária. - Elemento de volume:
.
Explicando rapidamente:
é a distância à origem,
é o ângulo polar (medido do eixo
) e
o ângulo azimutal no plano
. O fator
é o Jacobiano da mudança de variáveis e aparece sempre que passamos para coordenadas esféricas.
Passo 4
Escrevendo a integral em coordenadas esféricas, usando que a integranda é
e
:
Passo 5
A integral separa nas partes angular e radial, porque a integranda depende só de
:
Calculando as integrais angulares conhecidas:
logo o fator angular total é
. Portanto a integral reduz-se a
Passo 6
Agora resolvemos a integral radial
Fazemos a substituição clássica que casa com
:
Quando
temos
. Quando
temos
. Assim
Passo 7
Calculando a primitiva de
:
Aplicando nos limites de
a
:
Multiplicando pelo fator angular
obtido no Passo 5, a integral total é
Como
, uma forma alternativa é
Passo 8
Resumo mental para a prova: usar simetria esférica quando a integranda depende só de
; passar para esféricas, separar a parte angular (gera
) e reduzir para uma integral em
. A substituição
é natural porque aparece
.