Questão 4 (3.0 pts.) Calcule as integrais abaixo:
\int_{W} \sqrt{1+\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d V, \quad W: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{W} \sqrt{1+\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\,dV, \qquad W:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1.
Informações relevantes dadas:
  • A região W é a bola unitária centrada na origem, ou seja todos os pontos com \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1.
  • A função integranda é \sqrt{1+\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.
  • A integral é uma integral de volume sobre uma região esférica.

Passo 2

Observação que simplifica muito o problema: em coordenadas esféricas usuais definimos
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad r\ge 0.
Logo
\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=(r^{2})^{\frac{3}{2}}=r^{3},
porque r\ge 0. Assim a integranda depende apenas de r e pode ser escrita como \sqrt{1+r^{3}}.

Passo 3

Relembrando coordenadas esféricas e o elemento de volume (aquelas fórmulas que valem ouro em provas):
  • Coordenadas: x=r\sin\varphi\cos\theta,\; y=r\sin\varphi\sin\theta,\; z=r\cos\varphi.
  • Intervalos: \;r\in[0,1],\;\varphi\in[0,\pi],\;\theta\in[0,2\pi] para a bola unitária.
  • Elemento de volume: dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Explicando rapidamente: r é a distância à origem, \varphi é o ângulo polar (medido do eixo z) e \theta o ângulo azimutal no plano xy. O fator r^{2}\sin\varphi é o Jacobiano da mudança de variáveis e aparece sempre que passamos para coordenadas esféricas.

Passo 4

Escrevendo a integral em coordenadas esféricas, usando que a integranda é \sqrt{1+r^{3}} e dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta:
\int_{W} \sqrt{1+\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} \sqrt{1+r^{3}}\; r^{2}\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

A integral separa nas partes angular e radial, porque a integranda depende só de r:
\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\;\int_{0}^{1} r^{2}\sqrt{1+r^{3}}\,dr.
Calculando as integrais angulares conhecidas:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,\qquad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = 2,
logo o fator angular total é 2\pi\cdot 2 = 4\pi. Portanto a integral reduz-se a
4\pi\int_{0}^{1} r^{2}\sqrt{1+r^{3}}\,dr.

Passo 6

Agora resolvemos a integral radial
\int_{0}^{1} r^{2}\sqrt{1+r^{3}}\,dr.
Fazemos a substituição clássica que casa com r^{3}:
u=1+r^{3}\quad\Rightarrow\quad du=3r^{2}\,dr\quad\Rightarrow\quad r^{2}\,dr=\frac{1}{3}\,du.
Quando r=0 temos u=1. Quando r=1 temos u=2. Assim
\int_{0}^{1} r^{2}\sqrt{1+r^{3}}\,dr =\int_{u=1}^{2} \sqrt{u}\,\frac{1}{3}\,du =\frac{1}{3}\int_{1}^{2} u^{1/2}\,du.

Passo 7

Calculando a primitiva de u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Aplicando nos limites de 1 a 2:
\frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{2} =\frac{2}{9}\left(2^{3/2}-1\right).
Multiplicando pelo fator angular 4\pi obtido no Passo 5, a integral total é
4\pi\cdot \frac{2}{9}\left(2^{3/2}-1\right) =\frac{8\pi}{9}\left(2^{3/2}-1\right).
Como 2^{3/2}=2\sqrt{2}, uma forma alternativa é
\frac{8\pi}{9}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Passo 8

Resumo mental para a prova: usar simetria esférica quando a integranda depende só de x^{2}+y^{2}+z^{2}; passar para esféricas, separar a parte angular (gera 4\pi) e reduzir para uma integral em r. A substituição u=1+r^{3} é natural porque aparece r^{2}dr.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{9}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)=\frac{8\pi}{9}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr)

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