Questão 1) (2 pts) Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
:
Informações dadas:
- A expressão é uma função de
composta por um polinômio no numerador e uma raiz quadrada no denominador. - A variável
tende para (ou seja, valores de positivos e muito grandes).
A tarefa é calcular esse limite.
Passo 2
Observação útil: para
positivo podemos simplificar a raiz extraindo o fator
de dentro da raiz. Faço isso cuidadosamente:
Como
estamos com
para valores grandes, tem-se
. Logo:
(Obs.: escrevi esse detalhe do valor absoluto porque, em geral,
, mas para
isso vale
.)
Também fatoro no numerador para ver termos dominantes:
Também fatoro
Substituindo as fatorações na fração original:
Passo 3
Agora analiso os limites das partes que apareceram:
porque
quando
.
E, usando continuidade da função raiz quadrada em ,
E, usando continuidade da função raiz quadrada em
Pela propriedade de limites (o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero), o limite da expressão original é o quociente dos limites calculados no Passo 4. Como o limite do denominador é
(não nulo), a operação é válida.
Passo 4
Interpretação intuitiva (dica para prova): grau dominante no numerador é
(termo
) e no denominador a raiz de
cresce como
. Assim os termos de maior ordem “se cancelam” e resta a razão dos coeficientes principais, que aqui é
. Isso serve como atalho rápido para casos similares.