Questão 1) (2 pts) Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}+3 x}{\sqrt{x^{4}+1}}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+3x}{\sqrt{x^{4}+1}}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função de x composta por um polinômio no numerador e uma raiz quadrada no denominador.
  • A variável x tende para +\infty (ou seja, valores de x positivos e muito grandes).
    A tarefa é calcular esse limite.

Passo 2

Observação útil: para x positivo podemos simplificar a raiz extraindo o fator x^{4} de dentro da raiz. Faço isso cuidadosamente:
\sqrt{x^{4}+1}=\sqrt{x^{4}\!\left(1+\frac{1}{x^{4}}\right)}=\sqrt{x^{4}}\;\sqrt{1+\frac{1}{x^{4}}}.
Como x\to+\infty estamos com x>0 para valores grandes, tem-se \sqrt{x^{4}}=x^{2}. Logo:
\sqrt{x^{4}+1}=x^{2}\sqrt{1+\frac{1}{x^{4}}}.
(Obs.: escrevi esse detalhe do valor absoluto porque, em geral, \sqrt{x^{4}}=|x^{2}|, mas para x>0 isso vale x^{2}.)
Também fatoro x^{2} no numerador para ver termos dominantes:
x^{2}+3x = x^{2}\!\left(1+\frac{3}{x}\right).
Substituindo as fatorações na fração original:
\frac{x^{2}+3x}{\sqrt{x^{4}+1}} = \frac{x^{2}\!\left(1+\dfrac{3}{x}\right)}{x^{2}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{4}}}} = \frac{1+\dfrac{3}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{4}}}}.

Passo 3

Agora analiso os limites das partes que apareceram:
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)=1+0=1,
porque \dfrac{3}{x}\to0 quando x\to+\infty.
E, usando continuidade da função raiz quadrada em 1,
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^{4}}}=\sqrt{1+0}=\sqrt{1}=1.
Pela propriedade de limites (o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero), o limite da expressão original é o quociente dos limites calculados no Passo 4. Como o limite do denominador é 1 (não nulo), a operação é válida.

Passo 4

Interpretação intuitiva (dica para prova): grau dominante no numerador é 2 (termo x^{2}) e no denominador a raiz de x^{4} cresce como x^{2}. Assim os termos de maior ordem “se cancelam” e resta a razão dos coeficientes principais, que aqui é 1. Isso serve como atalho rápido para casos similares.

Resposta

1

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