Passo 1
Enunciado e o que é pedido (o que temos e o que vamos encontrar).
- A equação dada é
. - Simplificando o membro esquerdo, isso é equivalente a
. - Objetivo: resolver a equação para
em função do parâmetro ; ou seja, encontrar as raízes da cúbica
- Dados relevantes que vêm do enunciado: o parâmetro livre é
; não há outros números além dos coeficientes já escritos.
Passo 2
Colocar a cúbica em forma padrão usada no método de Cardano (forma depressa sem termo quadrático).
- A forma padrão do nosso polinômio é
onde, comparando com
, temos
- Observação: essa é já a “cúbica depressa” (não há termo em
), portanto a fórmula de Cardano para pode ser aplicada diretamente.
Passo 3
Explicação didática da ideia por trás da fórmula de Cardano (intuição e passos básicos).
- Ideia: procurar solução da forma
. Expandindo dá . Substituindo em obtemos
- Escolhe-se
e de modo a anular o coeficiente de , isto é impor
- Com isso sobra a equação simples
logo
e
são raízes da quadrática em
:
- Resolvendo essa quadrática obtemos explicitamente
e , e então e por radiciação cúbica. Essa é a derivação (resumida) da fórmula de Cardano.
Passo 4
Aplicar as fórmulas concretas ao nosso caso (calcular o discriminante auxiliar e escrever as expressões).
- Para a cúbica depressa
define-se
- Substituindo
e , tem-se passo a passo:
- Assim
- Para manipular fracionário em denominador comum:
Passo 5
Escrever a solução principal (fórmula de Cardano) e comentar os casos possíveis de acordo com o sinal de
.
- Define-se também
. A solução pela fórmula de Cardano dá uma expressão para (pelo menos) uma raiz real:
- Interpretação dos casos (importante para provas):
- Se
: há exatamente uma raiz real (a expressão acima dá essa raiz real) e duas raízes complexas conjugadas. - Se
: há raízes reais com multiplicidade (raiz dupla ou tripla); a fórmula acima se reduz a combinações de raízes reais repetidas. - Se
: existem três raízes reais distintas. Nesse caso a forma com radicais cúbicos contém radicais complexos, mas as três raízes reais podem ser escritas de forma real usando funções trigonométricas (fórmula de Viète / forma trigonométrica).
- Se
Passo 6
Caso
: escrever explicitamente as três raízes reais em forma trigonométrica (útil na prova quando se quer respostas reais e sem raízes complexas aparentes).
- Quando
(ou seja ), as três raízes reais são dadas por
- Substituindo
e na expressão acima obtém-se (simplificando ):
desde que o argumento do
esteja no intervalo
(o que corresponde justamente a
).
Passo 7
Exemplo numérico curto (para ganhar intuição).
- Se
então e a equação fica , que fatoriza:
portanto as raízes são
e
. Note que aqui
, logo três raízes reais, compatível com a forma trigonométrica.
Passo 8
Resumo prático que você pode usar em prova (passo-a-passo rápido para aplicar).
- Passo A: escrever a cúbica como
com , . - Passo B: calcular
. - Passo C: se
usar
para obter a raiz real; as outras (se
) são complexas conjugadas e obtêm-se multiplicando as cúbicas por as raízes cúbicas complexas de unidade.
- Passo D: se
usar a forma trigonométrica do passo anterior para obter as três raízes reais.