\frac{4 t}{4}=x^{3}-2 x+2

Passo 1

Enunciado e o que é pedido (o que temos e o que vamos encontrar).
  • A equação dada é \dfrac{4t}{4}=x^{3}-2x+2.
  • Simplificando o membro esquerdo, isso é equivalente a \,t = x^{3}-2x+2.
  • Objetivo: resolver a equação para x em função do parâmetro t; ou seja, encontrar as raízes da cúbica
x^{3}-2x+(2-t)=0.
  • Dados relevantes que vêm do enunciado: o parâmetro livre é t; não há outros números além dos coeficientes já escritos.

Passo 2

Colocar a cúbica em forma padrão usada no método de Cardano (forma depressa sem termo quadrático).
  • A forma padrão do nosso polinômio é
x^{3}+p x+q=0,
onde, comparando com x^{3}-2x+(2-t)=0, temos
p=-2,\qquad q=2-t.
  • Observação: essa é já a “cúbica depressa” (não há termo em x^{2}), portanto a fórmula de Cardano para x^{3}+p x+q=0 pode ser aplicada diretamente.

Passo 3

Explicação didática da ideia por trás da fórmula de Cardano (intuição e passos básicos).
  • Ideia: procurar solução da forma x=u+v. Expandindo (u+v)^{3} u^{3}+v^{3}+3uv(u+v). Substituindo em x^{3}+p x+q=0 obtemos
u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.
  • Escolhe-se u e v de modo a anular o coeficiente de u+v, isto é impor
3uv+p=0 \quad\Rightarrow\quad uv=-\dfrac{p}{3}.
  • Com isso sobra a equação simples
u^{3}+v^{3}+q=0,
logo u^{3} e v^{3} são raízes da quadrática em z:
z^{2}+qz-\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}=0.
  • Resolvendo essa quadrática obtemos explicitamente u^{3} e v^{3}, e então u e v por radiciação cúbica. Essa é a derivação (resumida) da fórmula de Cardano.

Passo 4

Aplicar as fórmulas concretas ao nosso caso (calcular o discriminante auxiliar e escrever as expressões).
  • Para a cúbica depressa x^{3}+p x+q=0 define-se
\Delta=\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}.
  • Substituindo p=-2 e q=2-t, tem-se passo a passo:
\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}=\left(\dfrac{2-t}{2}\right)^{2}=\dfrac{(2-t)^{2}}{4},
\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}=\left(\dfrac{-2}{3}\right)^{3}=-\dfrac{8}{27}.
  • Assim
\Delta=\dfrac{(2-t)^{2}}{4}-\dfrac{8}{27}.
  • Para manipular fracionário em denominador comum:
\Delta=\dfrac{27(2-t)^{2}-32}{108}.

Passo 5

Escrever a solução principal (fórmula de Cardano) e comentar os casos possíveis de acordo com o sinal de \Delta.
  • Define-se também -\dfrac{q}{2}=\dfrac{t-2}{2}. A solução pela fórmula de Cardano dá uma expressão para (pelo menos) uma raiz real:
x=\sqrt[3]{\dfrac{t-2}{2}+\sqrt{\Delta}}\;+\;\sqrt[3]{\dfrac{t-2}{2}-\sqrt{\Delta}}.
  • Interpretação dos casos (importante para provas):
    • Se \Delta>0: há exatamente uma raiz real (a expressão acima dá essa raiz real) e duas raízes complexas conjugadas.
    • Se \Delta=0: há raízes reais com multiplicidade (raiz dupla ou tripla); a fórmula acima se reduz a combinações de raízes reais repetidas.
    • Se \Delta<0: existem três raízes reais distintas. Nesse caso a forma com radicais cúbicos contém radicais complexos, mas as três raízes reais podem ser escritas de forma real usando funções trigonométricas (fórmula de Viète / forma trigonométrica).

Passo 6

Caso \Delta<0: escrever explicitamente as três raízes reais em forma trigonométrica (útil na prova quando se quer respostas reais e sem raízes complexas aparentes).
  • Quando \Delta<0 (ou seja 27(2-t)^{2}-32<0), as três raízes reais são dadas por
x_{k}=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\;\cos\!\left(\dfrac{1}{3}\operatorname{arccos}\!\Big(\dfrac{3q}{2p}\sqrt{-\dfrac{3}{p}}\Big)-\dfrac{2\pi k}{3}\right), \qquad k=0,1,2.
  • Substituindo p=-2 e q=2-t na expressão acima obtém-se (simplificando -p/3=2/3):
x_{k}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}\;\cos\!\left(\dfrac{1}{3}\operatorname{arccos}\!\Big(-\dfrac{3(2-t)}{4}\sqrt{\dfrac{3}{2}}\Big)-\dfrac{2\pi k}{3}\right), \quad k=0,1,2,
desde que o argumento do \operatorname{arccos} esteja no intervalo [-1,1] (o que corresponde justamente a \Delta<0).

Passo 7

Exemplo numérico curto (para ganhar intuição).
  • Se t=2 então q=0 e a equação fica x^{3}-2x=0, que fatoriza:
x(x^{2}-2)=0,
portanto as raízes são x=0 e x=\pm\sqrt{2}. Note que aqui \Delta=-\dfrac{8}{27}<0, logo três raízes reais, compatível com a forma trigonométrica.

Passo 8

Resumo prático que você pode usar em prova (passo-a-passo rápido para aplicar).
  • Passo A: escrever a cúbica como x^{3}+p x+q=0 com p=-2, q=2-t.
  • Passo B: calcular \Delta=\dfrac{(2-t)^{2}}{4}-\dfrac{8}{27}.
  • Passo C: se \Delta\ge0 usar
x=\sqrt[3]{\dfrac{t-2}{2}+\sqrt{\Delta}}+\sqrt[3]{\dfrac{t-2}{2}-\sqrt{\Delta}}
para obter a raiz real; as outras (se \Delta>0) são complexas conjugadas e obtêm-se multiplicando as cúbicas por as raízes cúbicas complexas de unidade.
  • Passo D: se \Delta<0 usar a forma trigonométrica do passo anterior para obter as três raízes reais.

Resposta

x=\sqrt[3]{\dfrac{t-2}{2}+\sqrt{\dfrac{(2-t)^{2}}{4}-\dfrac{8}{27}}}\;+\;\sqrt[3]{\dfrac{t-2}{2}-\sqrt{\dfrac{(2-t)^{2}}{4}-\dfrac{8}{27}}}
\text{(e as outras duas raízes complexas, se desejadas, são)}íã
x=\omega\sqrt[3]{\dfrac{t-2}{2}+\sqrt{\Delta}}+\omega^{2}\sqrt[3]{\dfrac{t-2}{2}-\sqrt{\Delta}}, \quad x=\omega^{2}\sqrt[3]{\dfrac{t-2}{2}+\sqrt{\Delta}}+\omega\sqrt[3]{\dfrac{t-2}{2}-\sqrt{\Delta}},
\text{onde }\Delta=\dfrac{(2-t)^{2}}{4}-\dfrac{8}{27}\text{ e }\omega=e^{2\pi i/3}.

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