Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
com a condição inicial
O que se pede é encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada.
Passo 2
Vamos colocar a equação em forma onde os
fiquem de um lado e os
do outro (separação de variáveis). Reescrevendo:
Dividindo por
e isolando
,
Agora vamos integrar ambos os lados. Isso transforma a resolução do problema numa questão de integrar duas expressões:
e
.
Passo 3
Integração do lado esquerdo. Para integrar
fazemos a substituição
. Então
e
. Assim
A integral
é uma integral padrão; pode ser obtida por frações parciais ou pela função
. Usando a fórmula
obtemos
onde
. Portanto
Passo 4
Integração do lado direito. Queremos calcular
Usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Escolhemos
(logo
) e
(logo
). Assim
Incluindo o sinal negativo:
Passo 5
Igualando as duas integrais (esquerda = direita) e colocando uma constante geral
, obtemos a solução implícita:
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão acima:
O lado esquerdo é
porque
. Além disso
e
. Então
Passo 7
Substituindo
na solução implícita:
Agora isolamos
. Multiplicando por
:
Exponenciando:
Chame o lado direito de
. Resolvendo para
:
Usando a identidade hiperbólica
, podemos escrever a solução de forma mais compacta. Note que
, logo
Essa expressão é algebraicamente equivalente à anterior e deixa clara a propriedade
porque o argumento do
em
é zero.
Passo 8
Verificação rápida da condição inicial: em
temos
. Então
e
, como exigido.