x \cos x d x+\left(1-6 y^{2}\right) d y=0 \quad ; y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x\cos x\,dx+\left(1-6y^{2}\right)\,dy=0
com a condição inicial
y(\pi)=0.
O que se pede é encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada.

Passo 2

Vamos colocar a equação em forma onde os y fiquem de um lado e os x do outro (separação de variáveis). Reescrevendo:
\left(1-6y^{2}\right)\,dy = -x\cos x\,dx.
Dividindo por \,1-6y^{2} e isolando dy,
\frac{dy}{1-6y^{2}} = -x\cos x\,dx.
Agora vamos integrar ambos os lados. Isso transforma a resolução do problema numa questão de integrar duas expressões: \displaystyle\int \frac{dy}{1-6y^{2}} e \displaystyle\int -x\cos x\,dx.

Passo 3

Integração do lado esquerdo. Para integrar
\int \frac{dy}{1-6y^{2}}
fazemos a substituição \,u=\sqrt{6}\,y. Então \,du=\sqrt{6}\,dy e \,dy=\dfrac{du}{\sqrt{6}}. Assim
\int \frac{dy}{1-6y^{2}} = \int \frac{1}{1-u^{2}}\cdot\frac{du}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}\int \frac{du}{1-u^{2}}.
A integral \displaystyle\int \frac{du}{1-u^{2}} é uma integral padrão; pode ser obtida por frações parciais ou pela função \operatorname{arctanh}. Usando a fórmula
\int \frac{du}{1-u^{2}} = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+u}{1-u}\right)+C,
obtemos
\int \frac{dy}{1-6y^{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+u}{1-u}\right)+C
onde u=\sqrt{6}\,y. Portanto
\int \frac{dy}{1-6y^{2}} = \frac{1}{2\sqrt{6}}\ln\!\left(\frac{1+\sqrt{6}\,y}{1-\sqrt{6}\,y}\right)+C.

Passo 4

Integração do lado direito. Queremos calcular
\int -x\cos x\,dx.
Usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=x (logo du=dx) e dv=\cos x\,dx (logo v=\sin x). Assim
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.
Incluindo o sinal negativo:
\int -x\cos x\,dx = -x\sin x - \cos x + C.

Passo 5

Igualando as duas integrais (esquerda = direita) e colocando uma constante geral C, obtemos a solução implícita:
\frac{1}{2\sqrt{6}}\ln\!\left(\frac{1+\sqrt{6}\,y}{1-\sqrt{6}\,y}\right) = -x\sin x - \cos x + C.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(\pi)=0 para determinar C. Substituindo x=\pi e y=0 na expressão acima:
\frac{1}{2\sqrt{6}}\ln\!\left(\frac{1+0}{1-0}\right) = -\pi\sin\pi - \cos\pi + C.
O lado esquerdo é 0 porque \ln 1=0. Além disso \sin\pi=0 e \cos\pi=-1. Então
0 = 0 -(-1) + C = 1 + C \quad\Rightarrow\quad C = -1.

Passo 7

Substituindo C=-1 na solução implícita:
\frac{1}{2\sqrt{6}}\ln\!\left(\frac{1+\sqrt{6}\,y}{1-\sqrt{6}\,y}\right) = -x\sin x - \cos x -1.
Agora isolamos y. Multiplicando por 2\sqrt{6}:
\ln\!\left(\frac{1+\sqrt{6}\,y}{1-\sqrt{6}\,y}\right) = 2\sqrt{6}\left(-x\sin x - \cos x -1\right).
Exponenciando:
\frac{1+\sqrt{6}\,y}{1-\sqrt{6}\,y} = \exp\!\big(2\sqrt{6}(-x\sin x - \cos x -1)\big).
Chame o lado direito de A(x)=\exp\!\big(2\sqrt{6}(-x\sin x - \cos x -1)\big). Resolvendo para y:
1+\sqrt{6}\,y = A(x)\big(1-\sqrt{6}\,y\big)
\sqrt{6}\,y\big(1+A(x)\big) = A(x)-1
y(x) = \frac{A(x)-1}{\sqrt{6}\big(1+A(x)\big)}.
Usando a identidade hiperbólica \operatorname{tanh} z = \dfrac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}, podemos escrever a solução de forma mais compacta. Note que A(x)=e^{2\sqrt{6}(-x\sin x - \cos x -1)}, logo
y(x) = \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\frac{A(x)-1}{A(x)+1} = -\frac{1}{\sqrt{6}}\operatorname{tanh}\!\big(\sqrt{6}\,(x\sin x + \cos x +1)\big).
Essa expressão é algebraicamente equivalente à anterior e deixa clara a propriedade y(\pi)=0 porque o argumento do \operatorname{tanh} em x=\pi é zero.

Passo 8

Verificação rápida da condição inicial: em x=\pi temos x\sin x + \cos x +1 = \pi\cdot0 + (-1) +1 = 0. Então \operatorname{tanh}(0)=0 e y(\pi)=0, como exigido.

Resposta

y(x) = -\frac{1}{\sqrt{6}}\operatorname{tanh}\!\big(\sqrt{6}\,(x\sin x + \cos x +1)\big).

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