Questão ( 2,0 pts ) Considere o conjunto D=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 4 e a função
f(x, y)=3 x^3-3 y^3
(1,0) Determine os pontos críticos de f e classifique-os.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão nos dá um conjunto $ D = {(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 4} $ e uma função $ f(x, y) = 3x^3 - 3y^3 $. Nosso objetivo é encontrar os pontos críticos dessa função e classificá-los. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e conhecer um pouco sobre extratos de função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são pontos críticos. São pontos onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Ou seja, são pontos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $:
x
y

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos igualar essas derivadas a zero e resolver o sistema:
fx = 9x^2 = 0 Rightarrow x^2 = 0 Rightarrow x = 0
fy = -9y^2 = 0 Rightarrow y^2 = 0 Rightarrow y = 0
Então, o único ponto crítico é $ (0, 0) $.

Passo 4

Vamos agora classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos a matriz Hessiana, que envolve as segundas derivadas parciais da função.
Calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 18x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = -18y
fxy = fyx = partial^2 fpartial x partial y = 0
No ponto $ (0, 0) $, temos:
(0, 0)
Calculamos o determinante da Hessiana:
fxx(0, 0) = 0, fyy(0, 0) = 0, fxy(0, 0) = 0
Quando o determinante $ D = 0 $, o teste padrão não conclui a classificação, indicando que o ponto pode ser um ponto de sela ou outro tipo.

Passo 5

Vamos analisar a função $ f(x, y) = 3x^3 - 3y^3 $ diretamente para entender o comportamento próximo a $ (0, 0) $.
Se fixarmos $ y = 0 $:
f(x, y) = 3x^3 - 3y^3
Para valores de $ x $ positivos e negativos próximos a zero, $ f $ aumenta e diminui, mostrando que há variação em ambas as direções.
Se fixarmos $ x = 0 $:
(0, 0)
Aqui também vemos variação nos valores de $ f $ para $ y $ positivos e negativos próximos a zero.
Isso indica que o ponto $ (0, 0) $ é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico de $ f $ é $ (0, 0) $, que é classificado como um ponto de sela.

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