Find the solution of the differential equation that satisfies the given initial condition.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução de uma equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada. O conteúdo é equação diferencial separável e vamos precisar saber como separar variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Reescrevemos a equação para evidenciar \
:
Assim temos uma equação separável.
Passo 3
Separamos as variáveis e montamos as integrais:
Integramos cada lado:
Passo 4
Calculamos a integral do lado esquerdo em duas partes:
-
- Fazemos
, então
Logo o LHS é
Passo 5
Calculamos a integral do lado direito por partes, com
,
:
Passo 6
Igualamos as integrais e aplicamos a condição inicial
:
Para
Passo 7
Substituindo
obtemos a solução implícita final:
Resposta
A solução implícita que satisfaz
é