Find the solution of the differential equation that satisfies the given initial condition.
x ln x=y(1+raiz3+y^2) y^prime, y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução de uma equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada. O conteúdo é equação diferencial separável e vamos precisar saber como separar variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevemos a equação para evidenciar \ dydx:
xln x ,=, yl(1+raiz3+y^2r),y' Longrightarrow y' = xln xyl(1+raiz3+y^2r)
Assim temos uma equação separável.

Passo 3

Separamos as variáveis e montamos as integrais:
yl(1+raiz3+y^2r),dy = xln x,dx
Integramos cada lado:
integral y,dy + integral yraiz3+y^2,dy = integral xln x,dx + C

Passo 4

Calculamos a integral do lado esquerdo em duas partes:
  1. integral y,dy = y^22
  2. Fazemos u=3+y^2, du=2y,dy então
integral yraiz3+y^2,dy = 12integral u^1/2,du = 13u^3/2 = 13(3+y^2)^3/2
Logo o LHS é
y^22 + 13(3+y^2)^3/2

Passo 5

Calculamos a integral do lado direito por partes, com a=ln x, db = x,dx:
integral xln x,dx = x^22ln x - integral x^22cdot1x,dx = x^22ln x - x^24 + C

Passo 6

Igualamos as integrais e aplicamos a condição inicial y(1)=1:
y^22 + 13(3+y^2)^3/2 = x^22ln x - x^24 + C
Para x=1,y=1 temos tfrac12+tfrac13cdot4^3/2=tfrac12+tfrac83=tfrac196 e tfrac12ln1 -tfrac14+C = C-tfrac14. Logo
C = 196+14 = 4112

Passo 7

Substituindo C obtemos a solução implícita final:
y^22 + 13(3+y^2)^3/2 = x^22ln x - x^24 + 4112

Resposta

A solução implícita que satisfaz y(1)=1 é
y^22 + 13(3+y^2)^3/2 = x^22ln x - x^24 + 4112

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