Solve the differential equation
by making the change of variable
.
Passo 1
Resumo do enunciado e o que vamos usar: Temos a equação diferencial de primeira ordem
. Esse tipo de EDO é linear não homogênea, e vamos simplificar fazendo a mudança de variável
. Com isso, conseguimos transformar o problema em uma equação mais fácil de resolver.
Passo 2
Definição da nova variável e derivada: Definimos
. Derivando em relação a
e usando regra da soma, obtemos
Como
, substituímos e ficamos com
Passo 3
Montagem e solução da EDO em
: A equação para
é
Isso é uma EDO linear de coeficientes constantes. Calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
, temos
Integrando ambos os lados,
onde
é constante de integração.
Passo 4
Volta à variável original e solução geral: Lembrando que
, temos
Então a solução geral para
é
Resposta
y = C e^{x} - x - 1