Solve the differential equation y^prime=x+y by making the change of variable u=x+y.

Passo 1

Resumo do enunciado e o que vamos usar: Temos a equação diferencial de primeira ordem y'=x+y. Esse tipo de EDO é linear não homogênea, e vamos simplificar fazendo a mudança de variável u=x+y. Com isso, conseguimos transformar o problema em uma equação mais fácil de resolver.

Passo 2

Definição da nova variável e derivada: Definimos u=x+y. Derivando em relação a x e usando regra da soma, obtemos
dudx=d(x)dx+dydx=1+y'
Como y'=x+y=u, substituímos e ficamos com
dudx=1+u

Passo 3

Montagem e solução da EDO em u: A equação para u é
dudx-u=1
Isso é uma EDO linear de coeficientes constantes. Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^-integral1,dx=e^-x
Multiplicando a equação por e^-x, temos
ddxl(u e^-xr)=1cdot e^-x
Integrando ambos os lados,
u e^-x=-e^-x+CLongrightarrow u=-1+Ce^x,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Volta à variável original e solução geral: Lembrando que u=x+y, temos
x+y=-1+Ce^x
Então a solução geral para y é
y=Ce^x-x-1

Resposta

y = C e^{x} - x - 1

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