Questão 5. □ (3.0 Pts) Considere a hélice \mathbf{r}(t)=(\cos (4 t), \operatorname{sen}(4 t), 3 t), determine o Triedro de Frenet (T, N, B), a curvatura e a torção em qualquer ponto.

Passo 1

O enunciado dá a curva (hélice)
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos(4t),\;\sin(4t),\;3t\bigr).
O que é pedido:
  • Determinar o triedro de Frenet (T,N,B) em qualquer ponto t.
  • Determinar a curvatura \kappa(t).
  • Determinar a torção \tau(t).
Informações importantes que temos desde o enunciado:
  • A curva é suave e tem derivadas de todas as ordens (já que seno, cosseno e função linear são infinitamente diferenciáveis).
  • Vou usar as fórmulas usuais do triedro de Frenet para curvas no espaço parametrizadas por t: \mathbf{T}=\frac{\mathbf{r}'}{\|\mathbf{r}'\|},\qquad \kappa=\frac{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|}{\|\mathbf{r}'\|^{3}},\qquad \mathbf{N}=\frac{\mathbf{T}'}{\|\mathbf{T}'\|},\qquad \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N},e para a torção uma fórmula prática: \tau=\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^{2}}.

Passo 2

Calcular as derivadas primeiras, segundas e terceiras (vai ser tudo utilizado):
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-4\sin(4t),\;4\cos(4t),\;3\bigr),
\mathbf{r}''(t)=\bigl(-16\cos(4t),\;-16\sin(4t),\;0\bigr),
\mathbf{r}'''(t)=\bigl(64\sin(4t),\;-64\cos(4t),\;0\bigr).
Explicação curta: derivada de \cos(4t) é -4\sin(4t), de \sin(4t) é 4\cos(4t) e de 3t é 3. Derivando novamente aplica-se a mesma regra (cadeia) e assim por diante.

Passo 3

Calcular a velocidade (norma de \mathbf{r}') e o vetor tangente unitário \mathbf{T}.
Primeiro a norma:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-4\sin(4t))^{2}+(4\cos(4t))^{2}+3^{2}} =\sqrt{16(\sin^{2}(4t)+\cos^{2}(4t))+9} =\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Observação didática: a identidade \sin^{2}+\cos^{2}=1 simplifica bastante e aqui resulta em velocidade constante \|\mathbf{r}'\|=5.
Como \|\mathbf{r}'\|=5 constante, o vetor tangente unitário é simplesmente
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|} =\left(-\frac{4}{5}\sin(4t),\;\frac{4}{5}\cos(4t),\;\frac{3}{5}\right).

Passo 4

Calcular a curvatura \kappa usando \kappa=\dfrac{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|}{\|\mathbf{r}'\|^{3}}.
Primeiro o produto vetorial \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''. Para facilitar, escrevo abreviando s=\sin(4t), c=\cos(4t):
\mathbf{r}'=(-4s,\;4c,\;3),\qquad \mathbf{r}''=(-16c,\;-16s,\;0).
Calcule o determinante (produto vetorial):
\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=\bigl(48s,\;-48c,\;64\bigr).
Detalhe do cálculo (passo a passo):
  • Componente x: 4c\cdot 0 - 3\cdot(-16s)=48s.
  • Componente y: -\bigl((-4s)\cdot 0 - 3\cdot(-16c)\bigr)=-48c.
  • Componente z: (-4s)(-16s)-(4c)(-16c)=64(s^{2}+c^{2})=64.
Norma do produto vetorial:
\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|=\sqrt{(48s)^{2}+(-48c)^{2}+64^{2}} =\sqrt{48^{2}(s^{2}+c^{2})+64^{2}} =\sqrt{48^{2}+64^{2}}=\sqrt{2304+4096}=\sqrt{6400}=80.
Agora a curvatura:
\kappa=\frac{80}{\|\mathbf{r}'\|^{3}}=\frac{80}{5^{3}}=\frac{80}{125}=\frac{16}{25}.
Observação: a curvatura é constante ao longo da hélice; isso costuma acontecer em hélices regulares.

Passo 5

Determinar o vetor normal principal \mathbf{N}.
Dado que \|\mathbf{r}'\| é constante, vale \mathbf{T}'(t)=\dfrac{\mathbf{r}''(t)}{\|\mathbf{r}'\|}=\dfrac{\mathbf{r}''(t)}{5}. Assim a direção de \mathbf{N} é a direção de \mathbf{r}''(t). Normalizando \mathbf{r}'':
\|\mathbf{r}''(t)\|=\sqrt{(-16c)^{2}+(-16s)^{2}+0^{2}}=16\sqrt{c^{2}+s^{2}}=16.
Portanto
\mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{r}''(t)}{\|\mathbf{r}''(t)\|} =\left(-\cos(4t),\;-\sin(4t),\;0\right).
Comentário intuitivo: \mathbf{N} aponta radialmente para dentro no plano xy, perpendicular à direção tangente no plano circular.

Passo 6

Determinar o binormal \mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}.
Fazendo o produto vetorial entre \mathbf{T} e \mathbf{N}:
\mathbf{T}(t)=\left(-\tfrac{4}{5}s,\;\tfrac{4}{5}c,\;\tfrac{3}{5}\right),\qquad \mathbf{N}(t)=(-c,-s,0).
Calculando o produto vetorial:
\mathbf{B}(t)=\left(\tfrac{3}{5}\,s,\;-\tfrac{3}{5}\,c,\;\tfrac{4}{5}\right) =\left(\frac{3}{5}\sin(4t),\;-\frac{3}{5}\cos(4t),\;\frac{4}{5}\right).
Verificação rápida: \mathbf{B} tem norma 1 (pois (3/5)^{2}+(4/5)^{2}=1) e é ortogonal a \mathbf{T} e \mathbf{N}, como deve ser.

Passo 7

Calcular a torção \tau usando a fórmula
\tau=\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^{2}}.
Já temos \mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=(48s,-48c,64) e \mathbf{r}'''=(64s,-64c,0). O produto escalar vale
(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}''' =48s\cdot 64s + (-48c)\cdot(-64c) + 64\cdot 0 =3072(s^{2}+c^{2})=3072.
E \|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^{2}=80^{2}=6400. Assim
\tau=\frac{3072}{6400}=\frac{48}{100}=\frac{12}{25}.
Comentário: a torção também é constante e positiva para esta hélice regular.

Passo 8

Resumo e interpretação final (rápido):
  • Velocidade constante 5 facilita cálculos: \mathbf{T}'=\mathbf{r}''/5.
  • Curvatura constante \kappa=\tfrac{16}{25} indica curvatura do raio do círculo projetado no plano xy combinado com a componente vertical da hélice.
  • Torção constante \tau=\tfrac{12}{25} indica uma rotação constante do plano osculador ao longo da hélice.
  • Os vetores \mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B} foram fornecidos explicitamente e são unitários e mutuamente ortogonais.

Resposta

\mathbf{T}(t)=\left(-\dfrac{4}{5}\sin(4t),\;\dfrac{4}{5}\cos(4t),\;\dfrac{3}{5}\right)
\mathbf{N}(t)=\bigl(-\cos(4t),\;-\sin(4t),\;0\bigr)
\mathbf{B}(t)=\left(\dfrac{3}{5}\sin(4t),\;-\dfrac{3}{5}\cos(4t),\;\dfrac{4}{5}\right)
\kappa(t)=\dfrac{16}{25}
\tau(t)=\dfrac{12}{25}

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