Questão 5. □ (3.0 Pts) Considere a hélice
, determine o Triedro de Frenet
, a curvatura e a torção em qualquer ponto.
Passo 1
O enunciado dá a curva (hélice)
O que é pedido:
- Determinar o triedro de Frenet
em qualquer ponto . - Determinar a curvatura
. - Determinar a torção
.
Informações importantes que temos desde o enunciado:
- A curva é suave e tem derivadas de todas as ordens (já que seno, cosseno e função linear são infinitamente diferenciáveis).
- Vou usar as fórmulas usuais do triedro de Frenet para curvas no espaço parametrizadas por
: e para a torção uma fórmula prática:
Passo 2
Calcular as derivadas primeiras, segundas e terceiras (vai ser tudo utilizado):
Explicação curta: derivada de
é
, de
é
e de
é
. Derivando novamente aplica-se a mesma regra (cadeia) e assim por diante.
Passo 3
Calcular a velocidade (norma de
) e o vetor tangente unitário
.
Primeiro a norma:
Observação didática: a identidade
simplifica bastante e aqui resulta em velocidade constante
.
Como
constante, o vetor tangente unitário é simplesmente
Passo 4
Calcular a curvatura
usando
.
Primeiro o produto vetorial
. Para facilitar, escrevo abreviando
,
:
Calcule o determinante (produto vetorial):
Detalhe do cálculo (passo a passo):
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Norma do produto vetorial:
Agora a curvatura:
Observação: a curvatura é constante ao longo da hélice; isso costuma acontecer em hélices regulares.
Passo 5
Determinar o vetor normal principal
.
Dado que
é constante, vale
. Assim a direção de
é a direção de
. Normalizando
:
Portanto
Comentário intuitivo:
aponta radialmente para dentro no plano
, perpendicular à direção tangente no plano circular.
Passo 6
Determinar o binormal
.
Fazendo o produto vetorial entre
e
:
Calculando o produto vetorial:
Verificação rápida:
tem norma
(pois
) e é ortogonal a
e
, como deve ser.
Passo 7
Calcular a torção
usando a fórmula
Já temos
e
. O produto escalar vale
E
. Assim
Comentário: a torção também é constante e positiva para esta hélice regular.
Passo 8
Resumo e interpretação final (rápido):
- Velocidade constante
facilita cálculos: . - Curvatura constante
indica curvatura do raio do círculo projetado no plano combinado com a componente vertical da hélice. - Torção constante
indica uma rotação constante do plano osculador ao longo da hélice. - Os vetores
foram fornecidos explicitamente e são unitários e mutuamente ortogonais.