Questão 4. □ (2.0 Pts) Determine a curvatura da parábola definida por
y=x^{2}-2 x+1
no ponto onde x=1. Além disso, identifique em qual ponto a curvatura atinge o seu valor máximo.

Passo 1

O enunciado dá a parábola y=x^{2}-2x+1 e pede duas coisas:
  • Calcular a curvatura dessa curva no ponto onde x=1.
  • Identificar em qual ponto a curvatura atinge o seu valor máximo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função que define a curva é y=f(x)=x^{2}-2x+1.
  • O ponto pedido para a primeira pergunta é o ponto da curva com abscissa x=1.
    Nada mais foi fornecido. Agora vamos calcular as derivadas necessárias e usar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro precisamos das derivadas de y=f(x). Relembre as regras básicas de derivação que vou usar:
  • A derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • A derivada de a x (com a constante) é a.
  • A derivada de constante é 0.
Aplicando:
y'= \frac{d}{dx}\left(x^{2}-2x+1\right)=2x-2
y''= \frac{d}{dx}\left(2x-2\right)=2.
Ou seja, a derivada primeira é y'=2x-2 e a segunda é y''=2 (constante).

Passo 3

Agora a fórmula da curvatura para uma curva dada por y=f(x). Vou explicar de onde vem e o que significa cada termo.
Intuição e derivação curta:
  • A curvatura \kappa mede quão rápido a direção da tangente muda quando se anda ao longo da curva (por unidade de comprimento da curva).
  • Se \varphi(x) é o ângulo que a tangente faz com o eixo x, então \tan\varphi = y'.
  • Diferenciando, \dfrac{d\varphi}{dx} = \dfrac{y''}{1+(y')^{2}} (regra da derivada de \arctan).
  • O elemento de comprimento (arc length) tem \dfrac{ds}{dx}=\sqrt{1+(y')^{2}}.
  • A curvatura é \kappa = \left|\dfrac{d\varphi}{ds}\right| = \left|\dfrac{d\varphi/dx}{ds/dx}\right|.
Combinando esses passos obtemos a fórmula padrão:
\kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{\bigl(1+(y'(x))^{2}\bigr)^{3/2}}.
Aqui:
  • y'(x) é a inclinação da tangente em x.
  • y''(x) é a concavidade (quanto a inclinação muda por unidade de x).
  • O valor absoluto em |y''| garante que \kappa seja não negativo (curvatura é sempre \ge 0).

Passo 4

Aplicar a fórmula no ponto x=1. Primeiro os valores que já calculamos:
y'(1)=2\cdot1-2=0, \qquad y''(1)=2.
Substituindo na fórmula da curvatura:
\kappa(1)=\frac{|y''(1)|}{\bigl(1+(y'(1))^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{|2|}{\bigl(1+0^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{2}{1}=2.
Também calculo a ordenada do ponto:
y(1)=1^{2}-2\cdot1+1=0,
portanto o ponto na curva com x=1 é (1,0).

Passo 5

Agora vamos achar onde \kappa(x) atinge o máximo para toda a curva. Usamos a expressão geral substituindo as derivadas:
\kappa(x)=\frac{|2|}{\bigl(1+(2x-2)^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{2}{\bigl(1+(2x-2)^{2}\bigr)^{3/2}}.
Observe que o numerador é constante ( 2). Para maximizar \kappa(x) basta minimizar o denominador \bigl(1+(2x-2)^{2}\bigr)^{3/2}. Como (2x-2)^{2}\ge 0 para todo x, o menor valor possível de (2x-2)^{2} é 0, que acontece quando
2x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Portanto o denominador atinge seu mínimo em x=1, e assim \kappa(x) atinge seu máximo em x=1. O valor máximo é \kappa(1)=2 e o ponto correspondente é novamente (1,0).

Passo 6

Interpretação geométrica curta e dica de prova: a função dada é y=(x-1)^{2}, uma parábola com vértice em (1,0). Faz sentido geométrico que o vértice seja o ponto de maior curvatura (maior “dobramento”) da parábola. Em provas, o procedimento padrão é: calcular y' e y'', aplicar a fórmula da curvatura para y=f(x) e então analisar a função \kappa(x) para extremos (ou usar observação algébrica como fizemos).

Resposta

A curvatura em x=1 é \kappa(1)=2.
A curvatura atinge o valor máximo no ponto (1,0) (valor máximo \kappa_{\max}=2).

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