Questão 4. □ (2.0 Pts) Determine a curvatura da parábola definida por
y=x^{2}-2 x+1
no ponto onde x=1. Além disso, identifique em qual ponto a curvatura atinge o seu valor máximo.
Passo 1
O enunciado dá a parábola y=x^{2}-2x+1 e pede duas coisas:
Calcular a curvatura dessa curva no ponto onde x=1.
Identificar em qual ponto a curvatura atinge o seu valor máximo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função que define a curva é y=f(x)=x^{2}-2x+1.
O ponto pedido para a primeira pergunta é o ponto da curva com abscissa x=1.
Nada mais foi fornecido. Agora vamos calcular as derivadas necessárias e usar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro precisamos das derivadas de y=f(x). Relembre as regras básicas de derivação que vou usar:
A derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
A derivada de a x (com a constante) é a.
A derivada de constante é 0.
Aplicando:
y'= \frac{d}{dx}\left(x^{2}-2x+1\right)=2x-2
y''= \frac{d}{dx}\left(2x-2\right)=2.
Ou seja, a derivada primeira é y'=2x-2 e a segunda é y''=2 (constante).
Passo 3
Agora a fórmula da curvatura para uma curva dada por y=f(x). Vou explicar de onde vem e o que significa cada termo.
Intuição e derivação curta:
A curvatura \kappa mede quão rápido a direção da tangente muda quando se anda ao longo da curva (por unidade de comprimento da curva).
Se \varphi(x) é o ângulo que a tangente faz com o eixo x, então \tan\varphi = y'.
Diferenciando, \dfrac{d\varphi}{dx} = \dfrac{y''}{1+(y')^{2}} (regra da derivada de \arctan).
O elemento de comprimento (arc length) tem \dfrac{ds}{dx}=\sqrt{1+(y')^{2}}.
A curvatura é \kappa = \left|\dfrac{d\varphi}{ds}\right| = \left|\dfrac{d\varphi/dx}{ds/dx}\right|.
Observe que o numerador é constante (2). Para maximizar \kappa(x) basta minimizar o denominador \bigl(1+(2x-2)^{2}\bigr)^{3/2}. Como (2x-2)^{2}\ge 0 para todo x, o menor valor possível de (2x-2)^{2} é 0, que acontece quando
2x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Portanto o denominador atinge seu mínimo em x=1, e assim \kappa(x) atinge seu máximo em x=1. O valor máximo é \kappa(1)=2 e o ponto correspondente é novamente (1,0).
Passo 6
Interpretação geométrica curta e dica de prova: a função dada é y=(x-1)^{2}, uma parábola com vértice em (1,0). Faz sentido geométrico que o vértice seja o ponto de maior curvatura (maior “dobramento”) da parábola. Em provas, o procedimento padrão é: calcular y' e y'', aplicar a fórmula da curvatura para y=f(x) e então analisar a função \kappa(x) para extremos (ou usar observação algébrica como fizemos).
Resposta
A curvatura em x=1 é \kappa(1)=2.
A curvatura atinge o valor máximo no ponto (1,0) (valor máximo \kappa_{\max}=2).