Questão 3. □ (2.0 Pts) Considere a curva
definida por
onde
são constạntes. Esboce a curva no
e determine o seu comprimento no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida por
com
e
. As perguntas são:
- Esboçar a curva no
. - Determinar o comprimento da curva para
.
Informações relevantes fornecidas:
- A componente
e descrevem um círculo de raio no plano quando varia. - A componente
aumenta linearmente de até quando vai de a . - O argumento do cosseno/seno faz um giro completo quando
vai de a , porque varia de a .
Passo 2
Esboço verbal e como desenhar (passo a passo fácil para a prova).
- Projeção no plano
: para qualquer a projeção é um ponto no círculo de raio centrado na origem. Quando vai de a , essa projeção dá uma volta completa no sentido anti-horário. - Componente vertical
: aumenta de a à medida que a volta é feita. - Conclusão visual: a curva é uma hélice (uma espiral cilíndrica) que dá exatamente uma volta ao redor do eixo
, subindo do plano até . Para esboçar: desenhar um cilindro de raio , marcar um ponto em e uma volta até subindo uniformemente.
Passo 3
Fórmula e ideia para comprimento de curva (mini-aula).
- Para uma curva suave
, o comprimento é dado por
onde
é a derivada vetor e
é a norma euclidiana. Intuição: dividir o intervalo em pequenos pedaços, aproximar cada pedaço por um segmento de reta e somar; no limite obtém-se a integral da velocidade
.
- Portanto, para resolver aqui precisamos:
- Calcular
componente a componente (usar regra da cadeia). - Calcular
. - Integrar
de até .
- Calcular
Passo 4
Calcular a derivada
.
- Defina
para simplificar as contas. Então . - Derivando componente a componente (regra da cadeia):
(Explicação: e ; .)
Passo 5
Calcular a norma
e simplificar.
- Norma ao quadrado:
- Agrupando os dois primeiros termos:
- Usando
: Isso mostra que a velocidade é constante ao longo da curva. Logo
Passo 6
Integrar para obter o comprimento.
- Como
é constante, a integral é simples: - Substituindo
: - Simplificando o fator
por baixo do radical:
Passo 7
Interpretação geométrica e checagens rápidas (como lembrar na prova).
- Geometricamente, desenrolando a superfície cilíndrica de raio
fica um retângulo: uma volta corresponde a um comprimento horizontal igual à circunferência e a altura é o passo . A hélice por uma volta corresponde à hipotenusa desse retângulo, cujo comprimento é . Isso coincide com o resultado obtido pela integral. - Casos especiais para conferir:
- Se
(sem raio) a curva é reta em e . - Se
(não sobe, só faz a volta no plano) então .
- Se
Resposta
Esboço: hélice (uma volta) de raio
em torno do eixo
, subindo de
a
.\n
Comprimento: .
Comprimento: