Questão 3. □ (2.0 Pts) Considere a curva \mathbf{r}:[0, h] \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por
\mathbf{r}(t)=\left(R \cos \left(\frac{2 \pi t}{h}\right), R \sin \left(\frac{2 \pi t}{h}\right), t\right),
onde R, h>0 são constạntes. Esboce a curva no \mathbb{R}^{3} e determine o seu comprimento no intervalo 0 \leq t \leq h.

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathbf{r}:[0,h]\to\mathbb{R}^3 definida por
\mathbf{r}(t)=\left(R\cos\!\left(\frac{2\pi t}{h}\right),\;R\sin\!\left(\frac{2\pi t}{h}\right),\;t\right),
com R>0 e h>0. As perguntas são:
  • Esboçar a curva no \mathbb{R}^3.
  • Determinar o comprimento da curva para 0\le t\le h.
Informações relevantes fornecidas:
  • A componente x(t)=R\cos\!\left(\frac{2\pi t}{h}\right) e y(t)=R\sin\!\left(\frac{2\pi t}{h}\right) descrevem um círculo de raio R no plano xy quando t varia.
  • A componente z(t)=t aumenta linearmente de 0 até h quando t vai de 0 a h.
  • O argumento do cosseno/seno faz um giro completo quando t vai de 0 a h, porque \frac{2\pi t}{h} varia de 0 a 2\pi.

Passo 2

Esboço verbal e como desenhar (passo a passo fácil para a prova).
  • Projeção no plano xy: para qualquer t a projeção (x(t),y(t)) é um ponto no círculo de raio R centrado na origem. Quando t vai de 0 a h, essa projeção dá uma volta completa no sentido anti-horário.
  • Componente vertical z: aumenta de 0 a h à medida que a volta é feita.
  • Conclusão visual: a curva é uma hélice (uma espiral cilíndrica) que dá exatamente uma volta ao redor do eixo z, subindo do plano z=0 até z=h. Para esboçar: desenhar um cilindro de raio R, marcar um ponto em z=0 e uma volta até z=h subindo uniformemente.

Passo 3

Fórmula e ideia para comprimento de curva (mini-aula).
  • Para uma curva suave \mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3, o comprimento L é dado por
L=\int_{a}^{b}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt,
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada vetor e \|\cdot\| é a norma euclidiana. Intuição: dividir o intervalo em pequenos pedaços, aproximar cada pedaço por um segmento de reta e somar; no limite obtém-se a integral da velocidade \|\mathbf{r}'(t)\|.
  • Portanto, para resolver aqui precisamos:
    1. Calcular \mathbf{r}'(t) componente a componente (usar regra da cadeia).
    2. Calcular \|\mathbf{r}'(t)\|.
    3. Integrar \|\mathbf{r}'(t)\| de 0 até h.

Passo 4

Calcular a derivada \mathbf{r}'(t).
  • Defina k=\dfrac{2\pi}{h} para simplificar as contas. Então \mathbf{r}(t)=\big(R\cos(kt),\;R\sin(kt),\;t\big).
  • Derivando componente a componente (regra da cadeia): \mathbf{r}'(t)=\left(-Rk\sin(kt),\;Rk\cos(kt),\;1\right).(Explicação: \dfrac{d}{dt}\cos(kt)=-k\sin(kt) e \dfrac{d}{dt}\sin(kt)=k\cos(kt); \dfrac{d}{dt}t=1.)

Passo 5

Calcular a norma \|\mathbf{r}'(t)\| e simplificar.
  • Norma ao quadrado: \|\mathbf{r}'(t)\|^{2}=(-Rk\sin(kt))^{2}+(Rk\cos(kt))^{2}+1^{2}.
  • Agrupando os dois primeiros termos: \|\mathbf{r}'(t)\|^{2}=R^{2}k^{2}\big(\sin^{2}(kt)+\cos^{2}(kt)\big)+1.
  • Usando \sin^{2}+\cos^{2}=1: \|\mathbf{r}'(t)\|^{2}=R^{2}k^{2}+1.Isso mostra que a velocidade é constante ao longo da curva. Logo \|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{1+R^{2}k^{2}}.

Passo 6

Integrar para obter o comprimento.
  • Como \|\mathbf{r}'(t)\| é constante, a integral é simples: L=\int_{0}^{h}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt=\int_{0}^{h}\sqrt{1+R^{2}k^{2}}\,dt=h\sqrt{1+R^{2}k^{2}}.
  • Substituindo k=\dfrac{2\pi}{h}: L=h\sqrt{1+R^{2}\left(\frac{2\pi}{h}\right)^{2}} =h\sqrt{1+\frac{4\pi^{2}R^{2}}{h^{2}}}.
  • Simplificando o fator h por baixo do radical: L=\sqrt{h^{2}+4\pi^{2}R^{2}}.

Passo 7

Interpretação geométrica e checagens rápidas (como lembrar na prova).
  • Geometricamente, desenrolando a superfície cilíndrica de raio R fica um retângulo: uma volta corresponde a um comprimento horizontal igual à circunferência 2\pi R e a altura é o passo h. A hélice por uma volta corresponde à hipotenusa desse retângulo, cujo comprimento é \sqrt{(2\pi R)^{2}+h^{2}}=\sqrt{4\pi^{2}R^{2}+h^{2}}. Isso coincide com o resultado obtido pela integral.
  • Casos especiais para conferir:
    • Se R=0 (sem raio) a curva é reta em z e L=\sqrt{h^{2}}=h.
    • Se h=0 (não sobe, só faz a volta no plano) então L=2\pi R.

Resposta

Esboço: hélice (uma volta) de raio \,R em torno do eixo z, subindo de z=0 a z=h.\n
Comprimento: \;L=\sqrt{h^{2}+4\pi^{2}R^{2}}.

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