( 2.5 pontos) Uma escola fundamental oferece três cursos de línguas: Um de espanhol, um de francês e outro de alemão. As classes estão abertas para todos os 100 estudantes da escola. Há 28 estudantes na classe de espanhol 26 na classe de francês e 16 na classe de alemão. Há 12 estudantes que fazem aulas de espanhol e francês, 4 que fazem aulas de de espanhol e alemão, e 6 que fazem aulas de francês e alemão. Além disso, há 2 estudantes fazendo os três cursos.
(a) Se um estudante é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele ou ela não esteja matriculado(a) em nenhum dos cursos?
(b) Se um estudante é escolhido aleatoriamente entre, qual é a probabilidade de que ele ou ela esteja fazendo exatamente um curso de línguas?
(c) Se um estudante do curso de alemão é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele ou ela esteja fazendo ao menos mais um curso?
(d) Se um estudante que faz ao menos dois dos cursos é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele ou ela esteja fazendo o curso de alemão?
(a) Se um estudante é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele ou ela não esteja matriculado(a) em nenhum dos cursos?
(b) Se um estudante é escolhido aleatoriamente entre, qual é a probabilidade de que ele ou ela esteja fazendo exatamente um curso de línguas?
(c) Se um estudante do curso de alemão é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele ou ela esteja fazendo ao menos mais um curso?
(d) Se um estudante que faz ao menos dois dos cursos é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele ou ela esteja fazendo o curso de alemão?
Passo 1
Vou reescrever com calma o que o enunciado deu e o que ele pede, linha por linha, para não nos perdermos. Dados (retirei das informações do enunciado):\n
estudantes no total.\n
(estudantes na classe de espanhol).\n
(estudantes na classe de francês).\n
(estudantes na classe de alemão).\n
(fazem espanhol e francês).\n
(fazem espanhol e alemão).\n
(fazem francês e alemão).\n
(fazem os três cursos).\n\n
Perguntas (o que precisamos responder):\n
(a) Qual a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente não esteja matriculado em nenhum dos cursos?\n
(b) Qual a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente esteja fazendo exatamente um curso de línguas?\n
(c) Se escolhemos aleatoriamente um estudante dentre os que fazem o curso de alemão, qual a probabilidade de que ele esteja fazendo pelo menos mais um curso (ou seja, além do alemão)?\n
(d) Se escolhemos aleatoriamente um estudante que faz ao menos dois dos cursos, qual a probabilidade de que ele esteja fazendo o curso de alemão?\n
Perguntas (o que precisamos responder):\n
(a) Qual a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente não esteja matriculado em nenhum dos cursos?\n
(b) Qual a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente esteja fazendo exatamente um curso de línguas?\n
(c) Se escolhemos aleatoriamente um estudante dentre os que fazem o curso de alemão, qual a probabilidade de que ele esteja fazendo pelo menos mais um curso (ou seja, além do alemão)?\n
(d) Se escolhemos aleatoriamente um estudante que faz ao menos dois dos cursos, qual a probabilidade de que ele esteja fazendo o curso de alemão?\n
Passo 2
Primeiro conceito necessário: união de conjuntos e princípio da inclusão-exclusão. Quando queremos o número de elementos que estão em pelo menos um dos três conjuntos
(ou seja, a união
), usamos a fórmula:\n
Explicando essa fórmula de forma intuitiva: somamos os que estão em cada curso; subtraímos as interseções de dois em dois porque foram contados duas vezes; porém ao subtrair as interseções de dois conjuntos, quem está nos três foi subtraído três vezes a mais, então adicionamos de volta
. Isso é essencial para contar corretamente quem está em pelo menos um curso.
Passo 3
Aplicando a fórmula acima com os números dados para achar quantos estudantes estão em pelo menos um curso:\n
Agora calculamos passo a passo (vou fazer as somas subtrações de forma explícita):\n
. \n
.\n
Subtraindo as interseções de pares: . \n
.\n
Somando o termo dos três juntos: .\n
Portanto . Isso significa que
estudantes fazem pelo menos um curso.
Subtraindo as interseções de pares:
Somando o termo dos três juntos:
Portanto
Passo 4
Com o valor de
podemos responder a letra (a). O número de estudantes que NÃO fazem nenhum curso é o complemento em relação ao total de
:\n
.\n
Probabilidade (escolhendo um estudante uniformemente) de não estar matriculado em nenhum curso é então\n
Probabilidade (escolhendo um estudante uniformemente) de não estar matriculado em nenhum curso é então\n
Interpretação: metade da escola não faz nenhum dos cursos.
Passo 5
Para a letra (b) precisamos contar quantos estudantes fazem exatamente um curso. Um jeito sistemático é calcular quantos fazem somente espanhol, somente francês e somente alemão, e somar.\n
Fórmula para “somente ” (os que estão em
e não em
nem
):\n
Fórmula para “somente
Explicando: subtraímos os que estão também em
e os que estão também em
. Mas quem está nos três foi subtraído duas vezes, então somamos de volta o termo triple.
Passo 6
Calculemos explicitamente cada “somente”:\n
Somente espanhol:\n
Somente espanhol:\n
Somente francês:\n
Somente alemão:\n
Agora somamos para achar quantos fazem exatamente um curso:\n
.
Passo 7
A probabilidade pedida na letra (b) é o número que faz exatamente um curso dividido pelo total
:\n
Em decimal isso é
, mas a fração reduzida
é mais limpa para a prova.
Passo 8
Antes de responder (c) precisamos entender “pelo menos mais um curso” dado que escolhemos alguém do curso de alemão. Em linguagem de conjuntos, isso é a probabilidade condicional\n
Uma maneira prática: entre os
de
, se subtrairmos os que estão somente em
(já encontramos
), o resto são aqueles que fazem ao menos mais um curso. Então o número desejado é
.
Passo 9
Calculando a probabilidade condicional da letra (c):\n
Também podemos ver esse numerador como
, consistente com o valor acima.
Passo 10
Para a letra (d) interpretamos: escolhemos aleatoriamente um estudante que faz ao menos dois dos cursos (ou seja, faz exatamente dois ou faz os três). Queremos a probabilidade de que esse estudante faça o curso de alemão.\n
Primeiro contamos quantos estudantes fazem pelo menos dois cursos. Já calculamos antes (Passo 6) que os que fazem exatamente dois são:\n
só (sem o triple) é
;\n
só é
;\n
só é
.\n
Somando: que fazem exatamente dois cursos. Além disso
fazem os três. Então o total de quem faz ao menos dois é
.
Primeiro contamos quantos estudantes fazem pelo menos dois cursos. Já calculamos antes (Passo 6) que os que fazem exatamente dois são:\n
Somando:
Passo 11
Agora contamos, dentre esses
estudantes (os que fazem ao menos dois), quantos fazem alemão. São aqueles que fazem
somente (
),
somente (
) e os que fazem os três (
). Então total com alemão dentro do grupo “ao menos dois” é
.\n
Logo a probabilidade pedida é\n
Logo a probabilidade pedida é\n
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) \n
(d)
(b)
(c)
(d)