( 2.5 pontos) Uma escola fundamental oferece três cursos de línguas: Um de espanhol, um de francês e outro de alemão. As classes estão abertas para todos os 100 estudantes da escola. Há 28 estudantes na classe de espanhol 26 na classe de francês e 16 na classe de alemão. Há 12 estudantes que fazem aulas de espanhol e francês, 4 que fazem aulas de de espanhol e alemão, e 6 que fazem aulas de francês e alemão. Além disso, há 2 estudantes fazendo os três cursos.
(a) Se um estudante é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele ou ela não esteja matriculado(a) em nenhum dos cursos?
(b) Se um estudante é escolhido aleatoriamente entre, qual é a probabilidade de que ele ou ela esteja fazendo exatamente um curso de línguas?
(c) Se um estudante do curso de alemão é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele ou ela esteja fazendo ao menos mais um curso?
(d) Se um estudante que faz ao menos dois dos cursos é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele ou ela esteja fazendo o curso de alemão?

Passo 1

Vou reescrever com calma o que o enunciado deu e o que ele pede, linha por linha, para não nos perdermos. Dados (retirei das informações do enunciado):\n
\;100 estudantes no total.\n
|S|=28 (estudantes na classe de espanhol).\n
|F|=26 (estudantes na classe de francês).\n
|A|=16 (estudantes na classe de alemão).\n
|S\cap F|=12 (fazem espanhol e francês).\n
|S\cap A|=4 (fazem espanhol e alemão).\n
|F\cap A|=6 (fazem francês e alemão).\n
|S\cap F\cap A|=2 (fazem os três cursos).\n\n
Perguntas (o que precisamos responder):\n
(a) Qual a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente não esteja matriculado em nenhum dos cursos?\n
(b) Qual a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente esteja fazendo exatamente um curso de línguas?\n
(c) Se escolhemos aleatoriamente um estudante dentre os que fazem o curso de alemão, qual a probabilidade de que ele esteja fazendo pelo menos mais um curso (ou seja, além do alemão)?\n
(d) Se escolhemos aleatoriamente um estudante que faz ao menos dois dos cursos, qual a probabilidade de que ele esteja fazendo o curso de alemão?\n

Passo 2

Primeiro conceito necessário: união de conjuntos e princípio da inclusão-exclusão. Quando queremos o número de elementos que estão em pelo menos um dos três conjuntos S,F,A (ou seja, a união S\cup F\cup A), usamos a fórmula:\n
|S\cup F\cup A| = |S| + |F| + |A| - |S\cap F| - |S\cap A| - |F\cap A| + |S\cap F\cap A|.\n
Explicando essa fórmula de forma intuitiva: somamos os que estão em cada curso; subtraímos as interseções de dois em dois porque foram contados duas vezes; porém ao subtrair as interseções de dois conjuntos, quem está nos três foi subtraído três vezes a mais, então adicionamos de volta |S\cap F\cap A|. Isso é essencial para contar corretamente quem está em pelo menos um curso.

Passo 3

Aplicando a fórmula acima com os números dados para achar quantos estudantes estão em pelo menos um curso:\n
|S\cup F\cup A| = 28 + 26 + 16 - 12 - 4 - 6 + 2.\n
Agora calculamos passo a passo (vou fazer as somas subtrações de forma explícita):\n
28+26=54. \n
54+16=70.\n
Subtraindo as interseções de pares: 12+4+6=22. \n
70-22=48.\n
Somando o termo dos três juntos: 48+2=50.\n
Portanto |S\cup F\cup A| = 50. Isso significa que 50 estudantes fazem pelo menos um curso.

Passo 4

Com o valor de |S\cup F\cup A|=50 podemos responder a letra (a). O número de estudantes que NÃO fazem nenhum curso é o complemento em relação ao total de 100:\n
100 - 50 = 50.\n
Probabilidade (escolhendo um estudante uniformemente) de não estar matriculado em nenhum curso é então\n
\frac{50}{100}=\frac{1}{2}.
Interpretação: metade da escola não faz nenhum dos cursos.

Passo 5

Para a letra (b) precisamos contar quantos estudantes fazem exatamente um curso. Um jeito sistemático é calcular quantos fazem somente espanhol, somente francês e somente alemão, e somar.\n
Fórmula para “somente S” (os que estão em S e não em F nem A):\n
|S\text{ somente}| = |S| - |S\cap F| - |S\cap A| + |S\cap F\cap A|.\n
Explicando: subtraímos os que estão também em F e os que estão também em A. Mas quem está nos três foi subtraído duas vezes, então somamos de volta o termo triple.

Passo 6

Calculemos explicitamente cada “somente”:\n
Somente espanhol:\n
|S\text{ somente}| = 28 - 12 - 4 + 2 = 14.\n
Somente francês:\n
|F\text{ somente}| = 26 - 12 - 6 + 2 = 10.\n
Somente alemão:\n
|A\text{ somente}| = 16 - 4 - 6 + 2 = 8.\n
Agora somamos para achar quantos fazem exatamente um curso:\n
14 + 10 + 8 = 32.

Passo 7

A probabilidade pedida na letra (b) é o número que faz exatamente um curso dividido pelo total 100:\n
\frac{32}{100} = \frac{8}{25}.
Em decimal isso é 0{,}32, mas a fração reduzida \frac{8}{25} é mais limpa para a prova.

Passo 8

Antes de responder (c) precisamos entender “pelo menos mais um curso” dado que escolhemos alguém do curso de alemão. Em linguagem de conjuntos, isso é a probabilidade condicional\n
P(\text{faz pelo menos mais um} \mid \text{está em } A) = \frac{|\{ \text{estudantes em } A \text{ que também estão em } S \text{ ou } F\}|}{|A|}.áéã\n
Uma maneira prática: entre os 16 de A, se subtrairmos os que estão somente em A (já encontramos 8), o resto são aqueles que fazem ao menos mais um curso. Então o número desejado é 16 - 8 = 8.

Passo 9

Calculando a probabilidade condicional da letra (c):\n
\frac{8}{16} = \frac{1}{2}.\n
Também podemos ver esse numerador como |A\cap S| + |A\cap F| - |S\cap F\cap A| = 4 + 6 - 2 = 8, consistente com o valor acima.

Passo 10

Para a letra (d) interpretamos: escolhemos aleatoriamente um estudante que faz ao menos dois dos cursos (ou seja, faz exatamente dois ou faz os três). Queremos a probabilidade de que esse estudante faça o curso de alemão.\n
Primeiro contamos quantos estudantes fazem pelo menos dois cursos. Já calculamos antes (Passo 6) que os que fazem exatamente dois são:\n
|S\cap F| só (sem o triple) é 12-2=10;\n
|S\cap A| só é 4-2=2;\n
|F\cap A| só é 6-2=4.\n
Somando: 10+2+4 = 16 que fazem exatamente dois cursos. Além disso 2 fazem os três. Então o total de quem faz ao menos dois é 16+2=18.

Passo 11

Agora contamos, dentre esses 18 estudantes (os que fazem ao menos dois), quantos fazem alemão. São aqueles que fazem S\cap A somente ( 2), F\cap A somente ( 4) e os que fazem os três ( 2). Então total com alemão dentro do grupo “ao menos dois” é 2+4+2=8.\n
Logo a probabilidade pedida é\n
\frac{8}{18} = \frac{4}{9}.

Resposta

(a) \frac{1}{2}\n
(b) \frac{8}{25}\n
(c) \frac{1}{2}\n
(d) \frac{4}{9}

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