Questão 3 (2 pts)
Considere a função
f(x)=\int_{0}^{x} \cos (\sqrt{t}) d t
que não admite uma primitiva em termos de funções elementares.
(1) Ache a expressão de f(x) em série de Taylor centrada em x_{0}=0.
(2) Quais são os valores das derivadas de ordem 5 e 11 de f(x) em x=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\int_{0}^{x}\cos(\sqrt{t})\,dt
e pede duas coisas:
  1. A expressão de f(x) em série de Taylor centrada em x_{0}=0.
  2. Os valores das derivadas de ordem 5 e 11 de f em x=0, ou seja, f^{(5)}(0) e f^{(11)}(0).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida por uma integral de 0 até x de \cos(\sqrt{t}).
  • Foi informado que \cos(\sqrt{t}) não tem primitiva elementar, mas podemos trabalhar com sua série de potência.
  • A série pedida é centrada em 0 (desenvolvimento em torno de x=0).

Passo 2

Vamos obter a série de Taylor de \cos(\sqrt{t}) em torno de t=0 e depois integrar termo a termo para achar a série de f(x).
Primeiro: lembre-se da série de Taylor de \cos(u) centrada em u=0:
\cos(u)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}u^{2n}.
Aqui vamos fazer a substituição u=\sqrt{t}. Então
\cos(\sqrt{t})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\big(\sqrt{t}\,\big)^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}t^{n}.
Observação didática: a série ficou em potências inteiras de t porque (\sqrt{t})^{2n}=t^{n}. Isso facilita integrar termo a termo.

Passo 3

Agora integramos termo a termo na definição de f(x). Como a série de \cos(\sqrt{t}) converge uniformemente em todo intervalo compacto que contenha 0, podemos integrar termo a termo:
f(x)=\int_{0}^{x}\cos(\sqrt{t})\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}t^{n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\int_{0}^{x}t^{n}\,dt.
Calcule a integral simples:
\int_{0}^{x}t^{n}\,dt=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Logo
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{\,n+1}}{(n+1)(2n)!}.
Para ficar numa forma clássica em potências de x^{m}, faça m=n+1. Então n=m-1 e obtemos, para m\ge 1,
f(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}x^{m}}{m(2m-2)!}.
Mostro os primeiros termos para dar intuição:
\cos(\sqrt{t})=1-\frac{t}{2!}+\frac{t^{2}}{4!}-\frac{t^{3}}{6!}+\cdots
integrando:
f(x)=x-\frac{x^{2}}{2\cdot 2!}+\frac{x^{3}}{3\cdot 4!}-\frac{x^{4}}{4\cdot 6!}+\cdots.

Passo 4

Agora vamos relacionar os coeficientes da série com as derivadas em 0. Seja a expansão
f(x)=\sum_{m=1}^{\infty}a_{m}x^{m},
comparando com o resultado obtemos, para m\ge 1,
a_{m}=\frac{(-1)^{m-1}}{m(2m-2)!}.
A relação entre coeficiente de Taylor e derivadas é
a_{m}=\frac{f^{(m)}(0)}{m!},
logo
f^{(m)}(0)=m!\,a_{m}=m!\cdot\frac{(-1)^{m-1}}{m(2m-2)!}.
Simplificando m!/m=(m-1)!, obtemos a fórmula geral
\boxed{\,f^{(m)}(0)=(-1)^{m-1}\frac{(m-1)!}{(2m-2)!}\,}.

Passo 5

Aplicamos a fórmula para m=5 e m=11.
Para m=5:
f^{(5)}(0)=(-1)^{5-1}\frac{(5-1)!}{(2\cdot5-2)!} =(-1)^{4}\frac{4!}{8!} =\frac{24}{40320}=\frac{1}{1680}.
Para m=11:
f^{(11)}(0)=(-1)^{11-1}\frac{(11-1)!}{(2\cdot11-2)!} =(-1)^{10}\frac{10!}{20!} =\frac{10!}{20!}.
Podemos escrever \dfrac{10!}{20!}=\dfrac{1}{11\cdot12\cdots20}=\dfrac{1}{670442572800} (valor obtido dividindo 20! por 10!).

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{\,n+1}}{(n+1)(2n)!}
f^{(5)}(0)=\frac{1}{1680},\qquad f^{(11)}(0)=\frac{1}{670442572800}

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