Questão 3 (2 pts)
Considere a função
que não admite uma primitiva em termos de funções elementares.
(1) Ache a expressão de
em série de Taylor centrada em
.
(2) Quais são os valores das derivadas de ordem 5 e 11 de
em
?
Considere a função
(1) Ache a expressão de
(2) Quais são os valores das derivadas de ordem 5 e 11 de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- A expressão de
em série de Taylor centrada em . - Os valores das derivadas de ordem 5 e 11 de
em , ou seja, e .
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida por uma integral de
até de . - Foi informado que
não tem primitiva elementar, mas podemos trabalhar com sua série de potência. - A série pedida é centrada em
(desenvolvimento em torno de ).
Passo 2
Vamos obter a série de Taylor de
em torno de
e depois integrar termo a termo para achar a série de
.
Primeiro: lembre-se da série de Taylor de
centrada em
:
Aqui vamos fazer a substituição
. Então
Observação didática: a série ficou em potências inteiras de
porque
. Isso facilita integrar termo a termo.
Passo 3
Agora integramos termo a termo na definição de
. Como a série de
converge uniformemente em todo intervalo compacto que contenha
, podemos integrar termo a termo:
Calcule a integral simples:
Logo
Para ficar numa forma clássica em potências de
, faça
. Então
e obtemos, para
,
Mostro os primeiros termos para dar intuição:
integrando:
Passo 4
Agora vamos relacionar os coeficientes da série com as derivadas em
. Seja a expansão
comparando com o resultado obtemos, para
,
A relação entre coeficiente de Taylor e derivadas é
logo
Simplificando
, obtemos a fórmula geral
Passo 5
Aplicamos a fórmula para
e
.
Para
:
Para
:
Podemos escrever
(valor obtido dividindo
por
).