Questão 1. □ (1.5 Pts) Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto t=\frac{\pi}{4}
\mathbf{r}(t)=\left(\cos t, \sin t, 4 \cos ^{2} t\right)

Passo 1

O que o problema pede: determinar a equação da reta tangente à curva paramétrica no ponto t=\dfrac{\pi}{4}.
Informações fornecidas:
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;4\cos^{2}t\bigr).
O ponto onde queremos a tangente é dado por t_{0}=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 2

Ideia geral (fórmula que vou usar) — explicação didática curta e amigável:
  • Para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) em \mathbb{R}^{3}, a reta tangente no instante t_{0} é a reta que passa pelo ponto \mathbf{r}(t_{0}) e tem direção dada pelo vetor derivada \mathbf{r}'(t_{0}).
  • Matematicamente, a equação vetorial da reta tangente é
\mathbf{L}(s)=\mathbf{r}(t_{0})+s\,\mathbf{r}'(t_{0}),\qquad s\in\mathbb{R},
onde s é o parâmetro da reta (não confundir com o parâmetro t da curva).
  • Para obter \mathbf{r}'(t), derivamos cada componente de \mathbf{r}(t) em relação a t, usando regras básicas: \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t e a regra da cadeia para potências.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t) componente a componente.
A primeira componente: \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
A segunda componente: \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
A terceira componente: \dfrac{d}{dt}\bigl(4\cos^{2}t\bigr)=4\cdot 2\cos t\cdot \dfrac{d}{dt}\cos t (regra da cadeia), portanto
\dfrac{d}{dt}\bigl(4\cos^{2}t\bigr)=8\cos t\cdot(-\sin t)=-8\cos t\sin t.
Observação trigonométrica útil (para simplificar depois): -8\cos t\sin t = -4\cdot 2\cos t\sin t = -4\sin(2t), porque \sin(2t)=2\sin t\cos t.
Logo
\mathbf{r}'(t)=\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;-8\cos t\sin t\bigr).

Passo 4

Avaliar \mathbf{r}(t) em t_{0}=\dfrac{\pi}{4}.
Lembrando valores trigonométricos básicos: \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Então
\mathbf{r}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;4\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)\right) =\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;4\cdot\dfrac{1}{2}\right) =\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;2\right).

Passo 5

Avaliar \mathbf{r}'(t) em t_{0}=\dfrac{\pi}{4}.
Usando os mesmos valores trigonométricos e a forma -8\cos t\sin t:
\mathbf{r}'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;-8\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Como \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{2}, a terceira componente fica -8\cdot\dfrac{1}{2}=-4. Portanto
\mathbf{r}'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;-4\right).
Esse é o vetor direção da reta tangente. (Dica prática: pode multiplicar esse vetor por qualquer escala não nula para obter um vetor direção mais “bonito”, por exemplo multiplicando por 2 obtemos \bigl(-\sqrt{2},\sqrt{2},-8\bigr).)

Passo 6

Escrever a equação da reta tangente. Usando a fórmula vetorial com parâmetro s:
\mathbf{L}(s)=\mathbf{r}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+s\,\mathbf{r}'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) =\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;2\right) +s\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;-4\right).
Escrevendo em forma paramétrica por componentes (mais prática na prova):
\begin{cases} x(s)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,s,\\[6pt] y(s)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,s,\\[6pt] z(s)=2-4s, \end{cases}\qquad s\in\mathbb{R}.
Também se quiser a forma simétrica (quando as componentes da direção não são zero):
\dfrac{x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{y-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{z-2}{-4}.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{L}(s)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;2\right)+s\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;-4\right)
ou, em forma paramétrica:
\displaystyle x(s)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,s,\quad y(s)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,s,\quad z(s)=2-4s,\; s\in\mathbb{R}.

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