Questão 1. □ (1.5 Pts) Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto
no ponto
Passo 1
O que o problema pede: determinar a equação da reta tangente à curva paramétrica no ponto
.
Informações fornecidas:
O ponto onde queremos a tangente é dado por
.
Passo 2
Ideia geral (fórmula que vou usar) — explicação didática curta e amigável:
- Para uma curva parametrizada por
em , a reta tangente no instante é a reta que passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor derivada . - Matematicamente, a equação vetorial da reta tangente é
onde
é o parâmetro da reta (não confundir com o parâmetro
da curva).
- Para obter
, derivamos cada componente de em relação a , usando regras básicas: , e a regra da cadeia para potências.
Passo 3
Calcular
componente a componente.
A primeira componente: .
A primeira componente:
A segunda componente:
.
A terceira componente:
(regra da cadeia), portanto
Observação trigonométrica útil (para simplificar depois):
, porque
.
Logo
Passo 4
Avaliar
em
.
Lembrando valores trigonométricos básicos: .
Lembrando valores trigonométricos básicos:
Então
Passo 5
Avaliar
em
.
Usando os mesmos valores trigonométricos e a forma :
Usando os mesmos valores trigonométricos e a forma
Como
, a terceira componente fica
. Portanto
Esse é o vetor direção da reta tangente. (Dica prática: pode multiplicar esse vetor por qualquer escala não nula para obter um vetor direção mais “bonito”, por exemplo multiplicando por
obtemos
.)
Passo 6
Escrever a equação da reta tangente. Usando a fórmula vetorial com parâmetro
:
Escrevendo em forma paramétrica por componentes (mais prática na prova):
Também se quiser a forma simétrica (quando as componentes da direção não são zero):
Resposta
ou, em forma paramétrica: