Determine quais das frases abaixo são proposições e quais não são, justificando formalmente com base na Definição 2 dos slides:
(h)
?
(h)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a frase
é uma proposição ou não, justificando com base na Definição 2 dos slides. Informações relevantes dadas:
- A expressão é exatamente
. - Não há variáveis ou incógnitas; todos os termos são números explícitos.
Passo 2
Explicar a Definição 2 (o que é uma proposição). Segundo a definição usual (Definição 2):
- Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira ou é falsa (não pode ser ambas ao mesmo tempo).
- Exemplos curtos para fixar a ideia:
- A frase
é uma proposição verdadeira. - A frase
é uma proposição falsa. - A frase
não é proposição enquanto for uma variável não determinada (não tem valor de verdade definido até ser fixado).
- A frase
- Observação: o fato de o enunciado original colocar um ponto de interrogação não transforma a sentença matemática subjacente em não proposição. O que importa é a forma declarativa da desigualdade: ela afirma algo que pode ser verdadeiro ou falso.
Passo 3
Verificar se a frase dada é uma frase declarativa fechada (sem variáveis). A desigualdade
usa apenas números e operadores; não contém variáveis nem ambiguidade. Portanto trata-se de uma frase declarativa fechada e, por isso, é candidata a ser uma proposição (precisamos ainda determinar seu valor de verdade).
Passo 4
Calcular o membro esquerdo
. Relembrando a regra de potências com expoente negativo:
- Para qualquer número não nulo
e inteiro vale - Para uma fração
.
Aplicando isso:
E
. Logo o membro esquerdo vale
.
Passo 5
Calcular o membro direito
usando a mesma regra:
E
. Logo o membro direito vale
.
Passo 6
Comparar os resultados obtidos:
essa desigualdade é verdadeira. Como a frase original afirma exatamente essa desigualdade, a frase tem valor de verdade definido (verdadeiro).
Passo 7
Concluir com base na Definição 2: a frase é uma proposição porque é uma frase declarativa fechada e possui um valor de verdade bem definido; o valor de verdade é verdadeiro, pois a desigualdade avaliada dá
.
Resposta
A frase é uma proposição e é verdadeira.