Determine quais das frases abaixo são proposições e quais não são, justificando formalmente com base na Definição 2 dos slides:
(h) \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}>\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} ?

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a frase
\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}>\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}
é uma proposição ou não, justificando com base na Definição 2 dos slides. Informações relevantes dadas:
  • A expressão é exatamente \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}.
  • Não há variáveis ou incógnitas; todos os termos são números explícitos.

Passo 2

Explicar a Definição 2 (o que é uma proposição). Segundo a definição usual (Definição 2):
  • Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira ou é falsa (não pode ser ambas ao mesmo tempo).
  • Exemplos curtos para fixar a ideia:
    • A frase "2+2=4" é uma proposição verdadeira.
    • A frase "2+2=5" é uma proposição falsa.
    • A frase "x>0" não é proposição enquanto x for uma variável não determinada (não tem valor de verdade definido até x ser fixado).
  • Observação: o fato de o enunciado original colocar um ponto de interrogação não transforma a sentença matemática subjacente em não proposição. O que importa é a forma declarativa da desigualdade: ela afirma algo que pode ser verdadeiro ou falso.

Passo 3

Verificar se a frase dada é uma frase declarativa fechada (sem variáveis). A desigualdade
\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}>\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}
usa apenas números e operadores; não contém variáveis nem ambiguidade. Portanto trata-se de uma frase declarativa fechada e, por isso, é candidata a ser uma proposição (precisamos ainda determinar seu valor de verdade).

Passo 4

Calcular o membro esquerdo \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3}. Relembrando a regra de potências com expoente negativo:
  • Para qualquer número não nulo a e inteiro n>0 vale a^{-n}=\frac{1}{a^n}.
  • Para uma fração \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}.
    Aplicando isso:
\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}=\left(\frac{3}{1}\right)^{3}=3^{3}.
E 3^{3}=3\cdot3\cdot3=27. Logo o membro esquerdo vale 27.

Passo 5

Calcular o membro direito \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} usando a mesma regra:
\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{1}\right)^{2}=2^{2}.
E 2^{2}=2\cdot2=4. Logo o membro direito vale 4.

Passo 6

Comparar os resultados obtidos:
27 > 4
essa desigualdade é verdadeira. Como a frase original afirma exatamente essa desigualdade, a frase tem valor de verdade definido (verdadeiro).

Passo 7

Concluir com base na Definição 2: a frase é uma proposição porque é uma frase declarativa fechada e possui um valor de verdade bem definido; o valor de verdade é verdadeiro, pois a desigualdade avaliada dá 27>4.

Resposta

A frase é uma proposição e é verdadeira.

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