Transforme as sentenças abertas abaixo em sentenças, de modo que:
- a
seja verdadeira,
- a
seja falsa,
- a
seja falsa,
- a
seja verdadeira.
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado dá a sentença aberta
(variável
, supondo
) e pede para transformá‑la em quatro sentenças fechadas (ou seja, sem variáveis livres) tais que:
- a 1ª seja verdadeira;
- a 2ª seja falsa;
- a 3ª seja falsa;
- a 4ª seja verdadeira.
Vou usar propriedades da equação trigonométrica para construir sentenças que sejam verdadeiras ou falsas conforme pedido.
Passo 2
O que é preciso saber para manipular essa sentença:
- Uma “sentença aberta” é uma igualdade que depende de
. Para torná‑la numa sentença (verdadeira ou falsa) basta dar um valor específico a (ou escrever uma expressão numérica para ). - A equação
, com , tem soluções infinitas porque a função seno é periódica. As soluções gerais podem ser escritas usando a função arco-seno , que fornece um valor principal tal que .
Passo 3
Regra geral (teorema que vou usar): se
e
, então todas as soluções são
com
. Aqui
é o valor principal em
.
Passo 4
Aplicando isso à nossa equação, com
e
, obtemos as soluções gerais para
:
ou seja
com
. Qualquer
dessa forma torna
verdadeira.
Passo 5
Construindo a 1ª sentença (verdadeira): tomar
na primeira família de soluções e fixar
igual à expressão obtida. Por construção, essa escolha satisfaz exatamente a equação (não é aproximação;
é definido de modo que
). Uma verificação numérica aproximada serve só para intuição:
, então
. Mas a razão da veracidade é teórica:
foi escolhido da forma que garante
.
Passo 6
Construindo a 2ª sentença (falsa): basta escolher um
que não pertença às famílias de soluções. Um exemplo simples é
. Nesse caso
o que é diferente de
. Portanto a sentença
com
é falsa.
Passo 7
Construindo a 3ª sentença (falsa): outro exemplo claro é escolher
tal que
, por exemplo
. Então
e
. Como
é exato, a falsidade fica imediata e não depende de aproximações.
Passo 8
Construindo a 4ª sentença (verdadeira): tomar
na segunda família de soluções, isto é escolher
A razão é a mesma do Passo 5: por construção,
e
, logo a sentença é verdadeira. Aproximação numérica:
, então
.