Transforme as sentenças abertas abaixo em sentenças, de modo que:
  • a 1^{\mathrm{a}} seja verdadeira,
  • a 2^{\mathrm{a}} seja falsa,
  • a 3^{\mathrm{a}} seja falsa,
  • a 4^{\mathrm{a}} seja verdadeira.
    (c) \sin (w+1)=0,12.

Passo 1

O enunciado dá a sentença aberta \sin(w+1)=0,12 (variável w, supondo w\in\mathbb{R}) e pede para transformá‑la em quatro sentenças fechadas (ou seja, sem variáveis livres) tais que:
  • a 1ª seja verdadeira;
  • a 2ª seja falsa;
  • a 3ª seja falsa;
  • a 4ª seja verdadeira.
Vou usar propriedades da equação trigonométrica para construir sentenças que sejam verdadeiras ou falsas conforme pedido.

Passo 2

O que é preciso saber para manipular essa sentença:
  • Uma “sentença aberta” é uma igualdade que depende de w. Para torná‑la numa sentença (verdadeira ou falsa) basta dar um valor específico a w (ou escrever uma expressão numérica para w).
  • A equação \sin x = a, com |a|\le 1, tem soluções infinitas porque a função seno é periódica. As soluções gerais podem ser escritas usando a função arco-seno \arcsin, que fornece um valor principal y\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] tal que \sin y = a.

Passo 3

Regra geral (teorema que vou usar): se \sin x = a e |a|\le 1, então todas as soluções são
x = \arcsin(a) + 2\pi k \qquad\text{ou}\qquad x = \pi - \arcsin(a) + 2\pi k,
com k\in\mathbb{Z}. Aqui \arcsin(a) é o valor principal em \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right].

Passo 4

Aplicando isso à nossa equação, com x=w+1 e a=0,12, obtemos as soluções gerais para w:
w+1 = \arcsin(0,12) + 2\pi k \qquad\text{ou}\qquad w+1 = \pi - \arcsin(0,12) + 2\pi k,
ou seja
w = \arcsin(0,12) - 1 + 2\pi k \qquad\text{ou}\qquad w = \pi - \arcsin(0,12) - 1 + 2\pi k,
com k\in\mathbb{Z}. Qualquer w dessa forma torna \sin(w+1)=0,12 verdadeira.

Passo 5

Construindo a 1ª sentença (verdadeira): tomar k=0 na primeira família de soluções e fixar w igual à expressão obtida. Por construção, essa escolha satisfaz exatamente a equação (não é aproximação; \arcsin(0,12) é definido de modo que \sin(\arcsin(0,12))=0,12). Uma verificação numérica aproximada serve só para intuição: \arcsin(0,12)\approx 0,1203, então w\approx -0,8797. Mas a razão da veracidade é teórica: w foi escolhido da forma que garante \sin(w+1)=0,12.

Passo 6

Construindo a 2ª sentença (falsa): basta escolher um w que não pertença às famílias de soluções. Um exemplo simples é w=0. Nesse caso
\sin(w+1)=\sin(1)\approx 0,84147,
o que é diferente de 0,12. Portanto a sentença \sin(w+1)=0,12 com w=0 é falsa.

Passo 7

Construindo a 3ª sentença (falsa): outro exemplo claro é escolher w tal que w+1=\pi, por exemplo w=\pi-1. Então
\sin(w+1)=\sin(\pi)=0,
e 0\neq 0,12. Como \sin(\pi)=0 é exato, a falsidade fica imediata e não depende de aproximações.

Passo 8

Construindo a 4ª sentença (verdadeira): tomar k=0 na segunda família de soluções, isto é escolher
w=\pi - \arcsin(0,12) - 1.
A razão é a mesma do Passo 5: por construção, w+1=\pi-\arcsin(0,12) e \sin(\pi-\arcsin(0,12))=\sin(\arcsin(0,12))=0,12, logo a sentença é verdadeira. Aproximação numérica: \pi-\arcsin(0,12)\approx 3,0213, então w\approx 2,0213.

Resposta

w = \arcsin(0,12) - 1
w = 0
w = \pi - 1
w = \pi - \arcsin(0,12) - 1

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