Questão 1 (2.0 pts) Determine a massa do sólido W limitado dentro da semi esfera S_{1}:\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+z^{2} \\\ z \\\ z \\\ \geq 0\end{array} \quad\right. e fora da esfera \quad S_{2}: x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1, \quad sabendo-se que sua densidade é dada por f(x, y, z)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, pegando todas as informações necessárias do enunciado.
  • O enunciado pede a massa do sólido W definido como:
    • limitado dentro da semi-esfera S_{1}, que é a semi-esfera superior do raio 1 centrada na origem, ou seja os pontos que satisfazem x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1,\qquad z\ge 0.(Estou considerando a semi-esfera unitária superior porque o enunciado fala em “semi esfera” e a outra esfera tem equação unitária, então a interpretação natural é raio 1 centrada em 0.)
    • e fora da esfera S_{2} de equação x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1,ou seja pontos que satisfazem x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\ge 1.
  • A densidade do sólido é dada por f(x,y,z)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
O sólido W é, portanto, a parte da semi-esfera unitária superior que fica fora da esfera de centro (0,0,1) e raio 1. O objetivo final é calcular a massa
\text{massa}=\iiint_{W} f(x,y,z)\,dV=\iiint_{W}\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV.

Passo 2

Entender a geometria da região W (onde exatamente está o sólido).
  • As duas superfícies se intersectam onde x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1.Subtraindo a segunda da primeira: z^{2}-(z-1)^{2}=0 \implies z^{2}-(z^{2}-2z+1)=0 \implies 2z-1=0 \implies z=\tfrac{1}{2}.Logo a interseção é o círculo de pontos com z=\tfrac{1}{2} que estão na esfera de raio 1.
  • Para z>\tfrac{1}{2} a esfera deslocada S_{2} contém os pontos da semi-esfera (ou seja estão dentro de S_{2}), então esses pontos devem ser excluídos (pois queremos ficar fora de S_{2}). Para 0\le z\le \tfrac{1}{2} existe uma faixa radial dentro da semi-esfera que está fora de S_{2}.
  • Uma maneira elegante de descrever a região é em coordenadas esféricas: isso costuma simplificar muito integrais com radiais e quando a densidade depende de x^{2}+y^{2}+z^{2}. Vou usar coordenadas esféricas.

Passo 3

Relembrando coordenadas esféricas e o jacobiano (mini-aula prática).
  • Definição das coordenadas esféricas usadas aqui:
    • \rho é a distância do ponto à origem: \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
    • \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z positivo (ou seja, \varphi=0 aponta para +\!z).
    • \theta é o ângulo polar no plano xy (o mesmo de coordenadas cilíndricas).
  • As relações são x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.(Isto vem do jacobiano da transformação.)
  • A densidade f depende só de \rho: f(x,y,z)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{1}{\rho^{2}}.Ao multiplicar f por dV aparece \rho^{2} no denominador cancelando o \rho^{2} do jacobiano, o que simplifica muito a integral.

Passo 4

Descrever os limites em coordenadas esféricas (a parte importante de traduzir as duas superfícies).
  • A semi-esfera unitária superior corresponde a \rho\le 1 e 0\le\varphi\le \tfrac{\pi}{2}.
  • A esfera S_{2} de equação x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 em esféricas fica: x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=\rho^{2}-2\rho\cos\varphi+1.A condição de estar fora de S_{2} é \rho^{2}-2\rho\cos\varphi+1\ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \rho^{2}-2\rho\cos\varphi\ge 0.Como \rho\ge 0, isso é equivalente a \rho\ge 2\cos\varphi \quad\text{ou}\quad \rho=0.
  • Como estamos dentro da esfera unitária temos também \rho\le 1. Assim, para um dado \varphi os valores possíveis de \rho que satisfazem ambas as condições são 2\cos\varphi \le \rho \le 1.Isso só faz sentido quando 2\cos\varphi\le 1, i.e. \cos\varphi\le \tfrac12, o que significa \varphi\ge \tfrac{\pi}{3}.
  • Além disso temos a condição z\ge 0 que impõe 0\le\varphi\le \tfrac{\pi}{2}. Combinando, o intervalo para \varphi é \tfrac{\pi}{3}\le\varphi\le \tfrac{\pi}{2}.
  • O ângulo \theta percorre 0 até 2\pi.
Portanto, em esféricas a região W é dada por
0\le\theta\le 2\pi,\qquad \tfrac{\pi}{3}\le\varphi\le \tfrac{\pi}{2},\qquad 2\cos\varphi\le\rho\le 1.

Passo 5

Escrever a integral tripla em coordenadas esféricas e simplificar o integrando.
A massa é
\iiint_{W}\frac{1}{\rho^{2}}\;dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=\pi/3}^{\pi/2}\int_{\rho=2\cos\varphi}^{1}\frac{1}{\rho^{2}}\cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
O fator \rho^{2} do jacobiano cancela com \rho^{-2} da densidade, sobrando um integrando muito simples:
\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/3}^{\pi/2}\int_{2\cos\varphi}^{1} \sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 6

Executar a integração passo a passo.
  • Integrando em \rho primeiro (o integrando \sin\varphi é independente de \rho): \int_{\rho=2\cos\varphi}^{1}\sin\varphi\,d\rho = \sin\varphi\bigl[ \rho \bigr]_{\rho=2\cos\varphi}^{1} = \sin\varphi\left(1-2\cos\varphi\right).
  • Agora a integral reduz para \int_{0}^{2\pi} d\theta \;\int_{\pi/3}^{\pi/2} \sin\varphi\,(1-2\cos\varphi)\,d\varphi = 2\pi \int_{\pi/3}^{\pi/2} \sin\varphi\,(1-2\cos\varphi)\,d\varphi.
  • Desenvolvendo a integral em \varphi: \int_{\pi/3}^{\pi/2} \sin\varphi\,d\varphi -2\int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.Calculando cada parte:
    • \displaystyle \int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi = [-\cos\varphi]_{\pi/3}^{\pi/2} = -\cos\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{3} = 0 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.
    • Para a segunda integral faça u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Então \int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = -\int_{u=\cos(\pi/3)}^{u=\cos(\pi/2)} u\,du = -\left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{1/2}^{0} = -\left(0-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}.
    • Multiplicando por 2 2\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}.
  • Portanto o integrando em \varphi vale \frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.
  • Multiplicando por 2\pi (o resultado da integração em \theta) obtemos a massa: \text{massa}=2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}.

Passo 7

Breve comentário final e incentivo: vemos como a escolha correta de coordenadas (esféricas) simplificou muito a integral porque a densidade era radial e o jacobiano cancelou, sobrando uma integral de função trigonométrica simples. Você já está no caminho certo: reconhecer simetrias e dependência radial costuma salvar tempo em prova. Força aí — isso é um tipo de integral clássico e ótimo para treinar!

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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