Questão 4. (2,5 pts) Uma janela isolante de painel duplo consiste em dois pedaços de vidro( K=0,78 ), com 1,5 \mathrm{~cm} de espessura, separados por uma camada de ar de 2,0 \mathrm{~cm} de espessura. A janela mede 5 m de largura por 4 m de altura. Sob condições nas quais a temperatura externa extrema do vidro é -10^{\circ} \mathrm{C} e o ar, a 27^{\circ} \mathrm{C}, está adjacente à superficie interna do vidro, com hi =12 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 \cdot \mathrm{~K}, determine a taxa de transferência de calor através da janela. O espaço de ar entre os painéis pode ser tratado como uma camada puramente condutiva, com k =0,0262 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. A radiação térmica pode ser desprezada.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo o que serve para resolver o problema):
  • Duas lâminas de vidro, cada uma com espessura \,0,015\\ \mathrm{m}\, e condutividade térmica \,k_{\text{vidro}}=0,78\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}\,.
  • Um espaço de ar entre os vidros com espessura \,0,020\\ \mathrm{m}\, e condutividade térmica \,k_{\text{ar}}=0,0262\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}\,.
  • Área da janela: largura 5\\ \mathrm{m} e altura 4\\ \mathrm{m}, logo \,A=5\cdot4=20\\ \mathrm{m}^2.
  • Temperatura do ar interno adjacente à superfície interna do vidro: \,T_i=27^\circ\mathrm{C}\,.
  • Temperatura extrema externa do vidro (superfície exterior): \,T_o=-10^\circ\mathrm{C}\,. (O enunciado fornece essa temperatura na superfície externa, portanto ela é usada como fronteira externa.)
  • Coeficiente convectivo do lado interno: \,h_i=12\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}\,.
  • Admitir que o espaço de ar se comporta como camada condutiva (sem convecção dentro da cavidade) e desprezar radiação térmica.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a taxa de transferência de calor através da janela (isto é, \dot{Q} em watts).

Passo 2

Estratégia de resolução (ideia física e fórmula que será usada):
  • Em regime estacionário a transferência de calor entre o ar interno e a superfície externa do vidro pode ser modelada como um conjunto de resistências térmicas em série: resistência convectiva do ar interno, resistência por condução do primeiro vidro, resistência por condução do ar entre os vidros e resistência por condução do segundo vidro.
  • A taxa de calor segue a lei análoga à corrente elétrica:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde \Delta T=T_i-T_o é a diferença de temperatura entre o ar interno e a superfície externa especificada, e R_{\text{total}} é a soma das resistências térmicas em série.
  • Cada resistência é:
    • resistência convectiva interna: \displaystyle R_{\text{conv}}=\frac{1}{h_i A},
    • resistência condutiva de uma camada homogênea: \displaystyle R_{\text{cond}}=\frac{L}{k A}, onde L é a espessura da camada e k sua condutividade.
  • Vamos calcular todas as resistências, somá-las para obter R_{\text{total}} e então usar \dot{Q}=\dfrac{T_i-T_o}{R_{\text{total}}}.

Passo 3

Cálculo da área:
A = 5\cdot 4 = 20\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular cada resistência (todas em \mathrm{K}/\mathrm{W}):
  1. resistência convectiva no lado interno:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h_i A}=\frac{1}{12\cdot 20}=\frac{1}{240}=0,004166\ldots\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  1. resistência da primeira lâmina de vidro (espessura \,L_g=0,015\\ \mathrm{m}\,, condutividade k_{\text{vidro}}=0,78\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}):
R_{g1}=\frac{L_g}{k_{\text{vidro}}A}=\frac{0,015}{0,78\cdot 20}=\frac{0,015}{15,6}=0,0009615\ldots\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  1. resistência do espaço de ar (espessura \,L_{ar}=0,020\\ \mathrm{m}\,, k_{\text{ar}}=0,0262\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}):
R_{ar}=\frac{L_{ar}}{k_{\text{ar}}A}=\frac{0,020}{0,0262\cdot 20}=\frac{0,020}{0,524}=0,0381679\ldots\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  1. resistência da segunda lâmina de vidro (igual à primeira):
R_{g2}=R_{g1}=0,0009615\ldots\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 5

Somar as resistências para obter R_{\text{total}}:
R_{\text{total}}=R_{\text{conv}}+R_{g1}+R_{ar}+R_{g2}.
Substituindo os valores numéricos:
R_{\text{total}}=0,0041667+0,0009615+0,0381679+0,0009615=0,0442577\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Diferença de temperatura entre o ar interno e a superfície externa:
\Delta T = T_i - T_o = 27-(-10)=37\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Calcular a taxa de transferência de calor:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{37}{0,0442577}\approx 836\\ \mathrm{W}.
Interpretação curta: isso significa que, nas condições dadas, cerca de 836\\ \mathrm{W} são perdidos através da janela do interior para o exterior.

Resposta

\dot{Q}\approx 836\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados