Questão 3. (2,5 pts) Uma tubulação, com 8 km de comprimento e 5 m de diâmetro, fornece água a uma estação de tratamento que está a 668 m abaixo da entrada da tubulação. Se a superfície do tubo for de concreto (
), encontre a variação de pressão para uma vazão de
.
Passo 1
O enunciado pede a variação de pressão entre a entrada e a saída de uma tubulação para uma vazão dada. Dados fornecidos:
- comprimento da tubulação:
; - diâmetro interno:
; - queda de cota entre entrada e saída:
(a saída está abaixo da entrada); - rugosidade absoluta da superfície (concreto):
; - vazão volumétrica:
.
Pergunta explícita: encontrar a variação de pressão para a vazão dada (ou seja,, pressão na saída menos pressão na entrada).
Passo 2
Equação de energia (Bernoulli) entre entrada (1) e saída (2) incluindo perda por atrito
:
Explicação rápida:
é a densidade do fluido (água),
é a aceleração da gravidade,
é a velocidade média no tubo. Como o diâmetro é o mesmo nas duas seções, as velocidades cinéticas se cancelam. Reorganizando para a diferença de pressões:
Ou seja, a pressão aumenta devido à queda de cota
e diminui pelas perdas de carga por atrito
. Nosso objetivo agora é calcular
.
Passo 3
Calcular área da seção e velocidade média:
- área:
- velocidade média:
Explicando:
é a área circular, e
é o resultado direto da conservação de massa
.
Passo 4
Determinar o regime de escoamento via número de Reynolds:
Usamos para água à temperatura ambiente
. Então
Conclusão:
é muito grande, o escoamento é totalmente turbulento.
Passo 5
Cálculo do fator de atrito
. Para escoamento turbulento em tubos rugosos usa-se a equação de Colebrook (implícita) ou fórmulas explícitas aproximadas. Vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa precisão prática):
Aqui
é o logaritmo base 10. Explico as parcelas:
representa o efeito da rugosidade relativa; o termo com
representa efeito da turbulência.
Passo 6
Aplicando valores na fórmula de Swamee–Jain:
- rugosidade relativa:
- termo relativo ao Reynolds:
- soma interna do logaritmo:
- logaritmo:
. - portanto
Interpretação:
é adimensional; aqui é aproximadamente
.
Passo 7
Calcular perda de carga por atrito
pela fórmula de Darcy–Weisbach:
Primeiro calcule
:
Agora
. Assim
Comentário: a perda de carga por atrito ao longo de 8 km com esse fluxo é apenas cerca de
, pequena frente à queda geométrica de
.
Passo 8
Calcular finalmente a variação de pressão
usando a equação do Passo 2:
Com
,
e
:
Conversão para unidades usuais:
.