Questão 3. (2,5 pts) Uma tubulação, com 8 km de comprimento e 5 m de diâmetro, fornece água a uma estação de tratamento que está a 668 m abaixo da entrada da tubulação. Se a superfície do tubo for de concreto ( e=0,3 \mathrm{~mm} ), encontre a variação de pressão para uma vazão de 90 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede a variação de pressão entre a entrada e a saída de uma tubulação para uma vazão dada. Dados fornecidos:
  • comprimento da tubulação: L=8{,}0\\ \mathrm{km}=8000\\ \mathrm{m};
  • diâmetro interno: D=5{,}0\\ \mathrm{m};
  • queda de cota entre entrada e saída: z_1-z_2=668\\ \mathrm{m} (a saída está 668\\ \mathrm{m} abaixo da entrada);
  • rugosidade absoluta da superfície (concreto): e=0{,}3\\ \mathrm{mm}=3,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m};
  • vazão volumétrica: Q=90\\ \mathrm{m^3/s}.
    Pergunta explícita: encontrar a variação de pressão para a vazão dada (ou seja, p_2-p_1, pressão na saída menos pressão na entrada).

Passo 2

Equação de energia (Bernoulli) entre entrada (1) e saída (2) incluindo perda por atrito h_f:
\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z_2+h_f.
Explicação rápida: \rho é a densidade do fluido (água), g é a aceleração da gravidade, v é a velocidade média no tubo. Como o diâmetro é o mesmo nas duas seções, as velocidades cinéticas se cancelam. Reorganizando para a diferença de pressões:
p_2-p_1=\rho g\,(z_1-z_2)-\rho g\,h_f.
Ou seja, a pressão aumenta devido à queda de cota \rho g(z_1-z_2) e diminui pelas perdas de carga por atrito \rho g h_f. Nosso objetivo agora é calcular h_f.

Passo 3

Calcular área da seção e velocidade média:
  • área: A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(5{,}0)^2}{4}=\frac{25\pi}{4}\\ \mathrm{m^2}\approx19{,}635\\ \mathrm{m^2}.
  • velocidade média: v=\frac{Q}{A}=\frac{90}{\dfrac{25\pi}{4}}\\ \mathrm{m/s}\approx4{,}585\\ \mathrm{m/s}.
Explicando: A é a área circular, e v é o resultado direto da conservação de massa Q=Av.

Passo 4

Determinar o regime de escoamento via número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{vD}{\nu}.
Usamos para água à temperatura ambiente \nu\approx1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}. Então
\mathrm{Re}=\frac{4{,}585\times5{,}0}{1{,}0\times10^{-6}}\approx2{,}2925\times10^{7}.
Conclusão: \mathrm{Re} é muito grande, o escoamento é totalmente turbulento.

Passo 5

Cálculo do fator de atrito f. Para escoamento turbulento em tubos rugosos usa-se a equação de Colebrook (implícita) ou fórmulas explícitas aproximadas. Vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa precisão prática):
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{e}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Aqui \log_{10} é o logaritmo base 10. Explico as parcelas: \dfrac{e}{3{,}7D} representa o efeito da rugosidade relativa; o termo com \mathrm{Re}^{0{,}9} representa efeito da turbulência.

Passo 6

Aplicando valores na fórmula de Swamee–Jain:
  • rugosidade relativa: \frac{e}{3{,}7D}=\frac{3{,}0\times10^{-4}}{3{,}7\times5{,}0}\approx1{,}6216\times10^{-5}.
  • termo relativo ao Reynolds: \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(2{,}2925\times10^{7})^{0{,}9}}\approx1{,}361\times10^{-6}.
  • soma interna do logaritmo: \frac{e}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx1{,}7577\times10^{-5}.
  • logaritmo: \log_{10}(1{,}7577\times10^{-5})\approx-4{,}755.
  • portanto
f=\frac{0{,}25}{(-4{,}755)^2}\approx\frac{0{,}25}{22{,}61}\approx0{,}01106.
Interpretação: f é adimensional; aqui é aproximadamente 1{,}106\times10^{-2}.

Passo 7

Calcular perda de carga por atrito h_f pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f=f\frac{L}{D}\frac{v^2}{2g}.
Primeiro calcule \dfrac{v^2}{2g}:
\frac{v^2}{2g}=\frac{(4{,}585)^2}{2\times9{,}81}\approx\frac{21{,}023}{19{,}62}\approx1{,}072\\ \mathrm{m}.
Agora L/D=\dfrac{8000}{5{,}0}=1600. Assim
h_f=0{,}01106\times1600\times1{,}072\approx18{,}96\\ \mathrm{m}.
Comentário: a perda de carga por atrito ao longo de 8 km com esse fluxo é apenas cerca de 19\\ \mathrm{m}, pequena frente à queda geométrica de 668\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcular finalmente a variação de pressão p_2-p_1 usando a equação do Passo 2:
p_2-p_1=\rho g\,(z_1-z_2)-\rho g\,h_f=\rho g\,(668-h_f).
Com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e h_f\approx18{,}96\\ \mathrm{m}:
p_2-p_1=1000\times9{,}81\times(668-18{,}96)\\ \mathrm{Pa}=9810\times649{,}04\\ \mathrm{Pa}\approx6{,}367\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Conversão para unidades usuais: \approx6{,}37\\ \mathrm{MPa}\approx63{,}7\\ \mathrm{bar}.

Resposta

p_2-p_1\approx6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} (aprox. 6{,}37\\ \mathrm{MPa} ou 63{,}7\\ \mathrm{bar})

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