Questão 2. (3,0 pts) A entrada da bomba tem um diâmetro de 0,35 \mathrm{~m} e a pressão para a bomba é 2500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^{2}. A saída da bomba tem um diâmetro de 0,15 \mathrm{~m} e uma pressão de 6000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}. s^{2}. O fluido que está sendo bombeado tem uma viscosidade de 1,09 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}. s e uma densidade de 600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. A saída da bomba está localizada 6 m acima da entrada. Em sua análise, admita que não haja variação de temperatura entre a entrada e a saída. Determine a potência que a bomba deve adicionar ao fluido de modo a manter uma vazão volumétrica constante de 15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Deixe claro as suposições necessárias para chegar ao resultado e utilize a nomenclatura adotada nas aulas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Diâmetro da entrada: D_{\text{in}}=0{,}35\\ \mathrm{m}.
  • Pressão na entrada: p_{\text{in}}=2500\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\mathrm{s}^{-2} (ou seja, 2500\\ \mathrm{Pa}).
  • Diâmetro da saída: D_{\text{out}}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
  • Pressão na saída: p_{\text{out}}=6000\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\mathrm{s}^{-2} (ou seja, 6000\\ \mathrm{Pa}).
  • Viscosidade dinâmica: \mu=1{,}09\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\mathrm{s}^{-1}.
  • Densidade do fluido: \rho=600\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}.
  • Diferença de cota (saída acima da entrada): \Delta z=z_{\text{out}}-z_{\text{in}}=6\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica constante: Q=15\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a potência que a bomba deve adicionar ao fluido para manter a vazão Q dada.

Passo 2

Suposições necessárias (importantes e justificadas):
  1. Escoamento estacionário e incompressível (densidade \rho constante). Vou assumir incompressível porque não há variação de temperatura significativa e não há informação sobre compressibilidade do fluido.
  2. Velocidade média uniforme nas seções (usa-se a velocidade média associada à vazão e à área): isto é, V=\dfrac{Q}{A}.
  3. Não há troca de calor relevante nem trabalho além do trabalho fornecido pela bomba (esquema usual para bombeamento).
  4. Perdas por atrito ao longo de tubulação e perdas localizadas (perdas de carga) serão desprezadas aqui, porque o enunciado não fornece comprimento de tubulação, rugosidade, nem outros dados necessários para estimá-las. Vou comentar depois o efeito de \mu e do regime de escoamento.
  5. Não considerarei perdas mecânicas do eixo (eficiência da bomba). Logo o resultado será a potência ideal que a bomba deve fornecer ao fluido (potência hidráulica adicionada). Se houver eficiência da bomba, a potência elétrica requerida seria maior.
Com essas suposições, posso usar a equação de energia (Bernoulli com termo de trabalho da bomba) entre entrada e saída.

Passo 3

Fórmula principal e explicação didática
  • A massa que atravessa por unidade de tempo é \dot{m}=\rho Q.
  • A energia específica (por unidade de massa) adicionada pela bomba, entre entrada e saída, incluindo diferença de pressão, energia cinética e potencial, é
\Delta e = \frac{p_{\text{out}}-p_{\text{in}}}{\rho} + \frac{V_{\text{out}}^{2}-V_{\text{in}}^{2}}{2} + g\,\Delta z,
onde:
  • p é a pressão (Pa),
  • \rho é a densidade ( \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}),
  • V é a velocidade média ( \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}),
  • \Delta z é a diferença de cota ( \mathrm{m}).
  • A potência hidráulica (taxa de energia) que a bomba deve adicionar ao fluido é a massa por tempo vezes essa energia específica:
\dot{W}=\dot{m}\,\Delta e=\rho Q\left(\frac{p_{\text{out}}-p_{\text{in}}}{\rho}+\frac{V_{\text{out}}^{2}-V_{\text{in}}^{2}}{2}+g\Delta z\right).
Simplificando o termo da pressão:
\dot{W}=Q\,(p_{\text{out}}-p_{\text{in}})+\tfrac{1}{2}\rho Q\left(V_{\text{out}}^{2}-V_{\text{in}}^{2}\right)+\rho g Q\,\Delta z.
Cada termo tem interpretação física:
  • Q\,(p_{\text{out}}-p_{\text{in}}): potência para elevar a pressão do fluido.
  • \tfrac{1}{2}\rho Q(V_{\text{out}}^{2}-V_{\text{in}}^{2}): potência associada à variação da energia cinética.
  • \rho g Q\,\Delta z: potência associada ao ganho potencial gravitacional.

Passo 4

Cálculo das áreas e velocidades médias (passo a passo, sem pular contas)
  • Área de seção transversal:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Então
A_{\text{in}}=\frac{\pi D_{\text{in}}^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}35)^{2}}{4}.
Calcule:
(0{,}35)^{2}=0{,}1225, \qquad \frac{0{,}1225}{4}=0{,}030625,
A_{\text{in}}=\pi\times0{,}030625\approx0{,}09617\\ \mathrm{m}^{2}.
A_{\text{out}}=\frac{\pi D_{\text{out}}^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}15)^{2}}{4}.
Calcule:
(0{,}15)^{2}=0{,}0225, \qquad \frac{0{,}0225}{4}=0{,}005625,
A_{\text{out}}=\pi\times0{,}005625\approx0{,}01767\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Velocidades médias (usar V=Q/A):
V_{\text{in}}=\frac{Q}{A_{\text{in}}}=\frac{15}{0{,}09617}\approx156{,}0\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
V_{\text{out}}=\frac{Q}{A_{\text{out}}}=\frac{15}{0{,}01767}\approx848{,}9\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
Observação divertida e importante: essas velocidades são muito altas — especialmente na saída — o que indica que os números dados (vazão muito grande e seção relativamente pequena) levam a velocidades e potências enormes. Vou continuar o cálculo conforme pedido, mas isso mostra que, na prática, essas condições seriam inviáveis sem considerar perda de carga, estrangulamentos, cavitação ou compressibilidade.

Passo 5

Cálculo dos termos da potência (mostrando cada conta)
  • Termo de pressão:
Q\,(p_{\text{out}}-p_{\text{in}})=15\cdot(6000-2500)=15\cdot3500=52500\\ \mathrm{W}.
  • Termo cinético:
    Primeiro calcule V_{\text{out}}^{2}-V_{\text{in}}^{2}:
V_{\text{out}}^{2}\approx(848{,}9)^{2}\approx720568\\ (\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}),
V_{\text{in}}^{2}\approx(156{,}0)^{2}\approx24336\\ (\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}),
V_{\text{out}}^{2}-V_{\text{in}}^{2}\approx720568-24336=696232\\ (\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}).
Agora o termo completo:
\tfrac{1}{2}\rho Q\left(V_{\text{out}}^{2}-V_{\text{in}}^{2}\right)=\tfrac{1}{2}\cdot600\cdot15\cdot696232.
Calcule passo a passo:
\tfrac{1}{2}\cdot600=300, \qquad 300\cdot15=4500,
4500\cdot696232\approx3{,}133{,}044{,}000\\ \mathrm{W}.
  • Termo gravitacional:
\rho g Q\,\Delta z=600\cdot9{,}81\cdot15\cdot6.
Calcule:
9{,}81\cdot6=58{,}86, \qquad 600\cdot58{,}86=35{,}316,
35{,}316\cdot15=529{,}740\\ \mathrm{W}.
  • Soma total:
\dot{W}=52500 + 3{,}133{,}044{,}000 + 529{,}740 \approx 3{,}133{,}626{,} (???)
Vamos somar com cuidado:
3{,}133{,}044{,}000 + 529{,}740 = 3{,}133{,}573{,}740,
3{,}133{,}573{,}740 + 52{,}500 = 3{,}133{,}626{,}240\\ \mathrm{W}.
Arredondando adequadamente:
\dot{W}\approx3{,}13\times10^{9}\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Comentários interpretativos e verificação do regime de escoamento (por que a viscosidade foi dada)
  • Reynolds típico (na saída) para verificar se o escoamento é laminar/turbulento:
\mathrm{Re}_{\text{out}}=\frac{\rho V_{\text{out}}D_{\text{out}}}{\mu} =\frac{600\cdot848{,}9\cdot0{,}15}{1{,}09\times10^{-3}}.
Calcule numericamente:
600\cdot848{,}9\cdot0{,}15\approx76{,}401, \qquad \mathrm{Re}_{\text{out}}\approx\frac{76{,}401}{1{,}09\times10^{-3}}\approx7{,}0\times10^{7}.
Isso indica escoamento fortemente turbulento. Em escoamentos turbulentos as perdas por atrito são grandes e dependem de comprimento e rugosidade; como não temos essas informações, não é possível estimar as perdas de carga nem a potência extra que seria necessária para compensá-las. Por isso, a suposição de “perdas desprezadas” é apenas uma idealização; na prática a potência real exigida seria ainda maior do que o valor calculado.
  • Observação prática: a potência calculada é da ordem de gigawatts, o que é enorme e indica que o sistema com os dados dados (vazão muito grande e seção de saída pequena) é impraticável sem modificar geometrias, reduzir vazão, ou espalhar o escoamento por tubulações maiores.

Passo 7

Conclusão final: potência hidráulica ideal que a bomba precisa fornecer (sem perdas por atrito nem perdas mecânicas)
\dot{W}\approx3{,}13\times10^{9}\\ \mathrm{W}.

Resposta

\dot{W}\approx3{,}13\times10^{9}\\ \mathrm{W}

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