Questão 2. (3,0 pts) A entrada da bomba tem um diâmetro de
e a pressão para a bomba é
. A saída da bomba tem um diâmetro de
e uma pressão de
.
. O fluido que está sendo bombeado tem uma viscosidade de
. s e uma densidade de
. A saída da bomba está localizada 6 m acima da entrada. Em sua análise, admita que não haja variação de temperatura entre a entrada e a saída. Determine a potência que a bomba deve adicionar ao fluido de modo a manter uma vazão volumétrica constante de
. Deixe claro as suposições necessárias para chegar ao resultado e utilize a nomenclatura adotada nas aulas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- Diâmetro da entrada:
. - Pressão na entrada:
(ou seja, ). - Diâmetro da saída:
. - Pressão na saída:
(ou seja, ). - Viscosidade dinâmica:
. - Densidade do fluido:
. - Diferença de cota (saída acima da entrada):
. - Vazão volumétrica constante:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a potência que a bomba deve adicionar ao fluido para manter a vazão
dada.
Passo 2
Suposições necessárias (importantes e justificadas):
- Escoamento estacionário e incompressível (densidade
constante). Vou assumir incompressível porque não há variação de temperatura significativa e não há informação sobre compressibilidade do fluido. - Velocidade média uniforme nas seções (usa-se a velocidade média associada à vazão e à área): isto é,
. - Não há troca de calor relevante nem trabalho além do trabalho fornecido pela bomba (esquema usual para bombeamento).
- Perdas por atrito ao longo de tubulação e perdas localizadas (perdas de carga) serão desprezadas aqui, porque o enunciado não fornece comprimento de tubulação, rugosidade, nem outros dados necessários para estimá-las. Vou comentar depois o efeito de
e do regime de escoamento. - Não considerarei perdas mecânicas do eixo (eficiência da bomba). Logo o resultado será a potência ideal que a bomba deve fornecer ao fluido (potência hidráulica adicionada). Se houver eficiência da bomba, a potência elétrica requerida seria maior.
Com essas suposições, posso usar a equação de energia (Bernoulli com termo de trabalho da bomba) entre entrada e saída.
Passo 3
Fórmula principal e explicação didática
- A massa que atravessa por unidade de tempo é
. - A energia específica (por unidade de massa) adicionada pela bomba, entre entrada e saída, incluindo diferença de pressão, energia cinética e potencial, é
onde:
-
é a pressão (Pa), -
é a densidade ( ), -
é a velocidade média ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a diferença de cota ( ). -
A potência hidráulica (taxa de energia) que a bomba deve adicionar ao fluido é a massa por tempo vezes essa energia específica:
Simplificando o termo da pressão:
Cada termo tem interpretação física:
-
: potência para elevar a pressão do fluido. -
: potência associada à variação da energia cinética. -
: potência associada ao ganho potencial gravitacional.
Passo 4
Cálculo das áreas e velocidades médias (passo a passo, sem pular contas)
- Área de seção transversal:
Então
Calcule:
Calcule:
- Velocidades médias (usar
):
Observação divertida e importante: essas velocidades são muito altas — especialmente na saída — o que indica que os números dados (vazão muito grande e seção relativamente pequena) levam a velocidades e potências enormes. Vou continuar o cálculo conforme pedido, mas isso mostra que, na prática, essas condições seriam inviáveis sem considerar perda de carga, estrangulamentos, cavitação ou compressibilidade.
Passo 5
Cálculo dos termos da potência (mostrando cada conta)
- Termo de pressão:
- Termo cinético:
Primeiro calcule:
Agora o termo completo:
Calcule passo a passo:
- Termo gravitacional:
Calcule:
- Soma total:
Vamos somar com cuidado:
Arredondando adequadamente:
Passo 6
Comentários interpretativos e verificação do regime de escoamento (por que a viscosidade foi dada)
- Reynolds típico (na saída) para verificar se o escoamento é laminar/turbulento:
Calcule numericamente:
Isso indica escoamento fortemente turbulento. Em escoamentos turbulentos as perdas por atrito são grandes e dependem de comprimento e rugosidade; como não temos essas informações, não é possível estimar as perdas de carga nem a potência extra que seria necessária para compensá-las. Por isso, a suposição de “perdas desprezadas” é apenas uma idealização; na prática a potência real exigida seria ainda maior do que o valor calculado.
- Observação prática: a potência calculada é da ordem de gigawatts, o que é enorme e indica que o sistema com os dados dados (vazão muito grande e seção de saída pequena) é impraticável sem modificar geometrias, reduzir vazão, ou espalhar o escoamento por tubulações maiores.
Passo 7
Conclusão final: potência hidráulica ideal que a bomba precisa fornecer (sem perdas por atrito nem perdas mecânicas)