Questão 4 (2.0 pts) Uma lámina no plano X Y é limitada dentro da circunserência (x-2)^{2}+y^{2}=4 e fora da circunferència x^{2}+y^{2}=4. Calcule a massa da lämina sabendo que sua densidade é dada por f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Boa Prova #

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: calcular a massa da lâmina (massa total) cuja densidade assinalada é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Região D: pontos que estão dentro da circunferência (x-2)^{2}+y^{2}=4 e fora da circunferência x^{2}+y^{2}=4. Ou seja, a parte do disco centrado em (2,0) de raio 2 que fica fora do disco de raio 2 centrado na origem.
  • Densidade: f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (isto é, a distância ao origem).
  • Objetivo concreto: calcular a integral dupla da densidade sobre D,
\text{massa}=\iint_{D} f(x,y)\,dA=\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA.

Passo 2

Escolha de coordenadas e razão: por que usar coordenadas polares.
  • Observação importante: a densidade depende de \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que em coordenadas polares é simplesmente r. Isso simplifica muito a integral.
  • Em coordenadas polares usa-se x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta (o fator r é o Jacobiano da mudança de variáveis).
  • Portanto, em polares a integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira r e o produto \text{densidade}\times dA vira r\cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}\,dr\,d\theta.
  • Logo a massa será dada por uma integral do tipo
\text{massa}=\iint_{D} r^{2}\,dr\,d\theta,
com os limites de r e \theta correspondentes à região D.

Passo 3

Descrever a fronteira externa em polares e achar os limites angulares.
  • A circunferência centrada em (2,0) e raio 2 tem equação (x-2)^{2}+y^{2}=4. Em polares:
(r\cos\theta-2)^{2} + (r\sin\theta)^{2}=4.
  • Expandindo e simplificando:
r^{2}\cos^{2}\theta -4r\cos\theta +4 + r^{2}\sin^{2}\theta =4
r^{2} -4r\cos\theta =0
r\bigl(r-4\cos\theta\bigr)=0.
  • Descartamos r=0 (ponto trivial). A curva relevante é
r = 4\cos\theta.
  • A circunferência centrada na origem de raio 2 é simplesmente r=2.
  • Para que a região entre as duas seja válida é preciso que 4\cos\theta \ge 2, isto é \cos\theta \ge \tfrac{1}{2}.
  • Assim os ângulos permitidos são
-\tfrac{\pi}{3} \le \theta \le \tfrac{\pi}{3}.

Passo 4

Determinar os limites de r para cada \theta.
  • Para cada \theta em \left[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\right] a região D corresponde aos pontos com
2 \le r \le 4\cos\theta.
  • Portanto, a integral que dá a massa é
\text{massa}=\int_{\theta=-\pi/3}^{\pi/3}\int_{r=2}^{4\cos\theta} r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r.
  • Integral interna:
\int_{r=2}^{4\cos\theta} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{2}^{4\cos\theta} = \frac{(4\cos\theta)^{3}-2^{3}}{3} = \frac{64\cos^{3}\theta - 8}{3}.
  • Substituindo na integral em \theta:
\text{massa}=\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{64\cos^{3}\theta - 8}{3}\,d\theta =\frac{1}{3}\left(64\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos^{3}\theta\,d\theta - 8\int_{-\pi/3}^{\pi/3} d\theta\right).

Passo 6

Calcular as integrais em \theta.
  • A segunda integral é simples:
\int_{-\pi/3}^{\pi/3} d\theta = \frac{2\pi}{3}.
  • Para a primeira, use que \cos^{3}\theta é função par, então
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos^{3}\theta\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}\theta\,d\theta.
  • Calcule \int \cos^{3}\theta\,d\theta via substituição u=\sin\theta ou usando identidade:
\int \cos^{3}\theta\,d\theta = \sin\theta - \frac{\sin^{3}\theta}{3} + C.
  • Avaliando de 0 a \pi/3:
\int_{0}^{\pi/3}\cos^{3}\theta\,d\theta = \left(\sin\theta - \frac{\sin^{3}\theta}{3}\right)\Big|_{0}^{\pi/3} = \sin\left(\tfrac{\pi}{3}\right) - \frac{\sin^{3}\left(\tfrac{\pi}{3}\right)}{3}.
  • Como \sin\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtém-se
\sin\left(\tfrac{\pi}{3}\right) - \frac{\sin^{3}\left(\tfrac{\pi}{3}\right)}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{8}.
  • Portanto
\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos^{3}\theta\,d\theta = 2\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}.

Passo 7

Juntar tudo e simplificar para obter a massa.
  • Substituindo os valores no passo anterior:
\text{massa}=\frac{1}{3}\left(64\cdot\frac{3\sqrt{3}}{4} - 8\cdot\frac{2\pi}{3}\right).
  • Calcule cada termo:
64\cdot\frac{3\sqrt{3}}{4} = 16\cdot 3\sqrt{3} = 48\sqrt{3}, \qquad 8\cdot\frac{2\pi}{3} = \frac{16\pi}{3}.
  • Assim
\text{massa}=\frac{1}{3}\left(48\sqrt{3} - \frac{16\pi}{3}\right) = 16\sqrt{3} - \frac{16\pi}{9}.

Resposta

16\sqrt{3}-\dfrac{16\pi}{9}

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