O elemento de área dA transforma-se em dA = r\,dr\,d\theta. Isto é o “jacobiano” da transformação polar — intuitivamente aparece um fator extra r porque os arcos em polares crescem com r.
Assim, na integral o integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ dA vira r\cdot (r\,dr\,d\theta)=r^{2}\,dr\,d\theta.
Passo 4
Agora vamos achar os limites de integração para a região D em polares. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e x=r\cos\theta na desigualdade da região:
r^{2}\leq 2r\cos\theta.
Como r\ge 0, podemos dividir por r (o caso r=0 é incluído automaticamente) e obtemos
r\leq 2\cos\theta.
Para que isso faça sentido com r\ge0 é necessário \cos\theta\ge0, ou seja
Agora calculo \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta\\ d\theta. Escrevo \cos^{3}\theta=\cos\theta(1-\sin^{2}\theta) e faço a substituição u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Quando \theta vai de 0 a \frac{\pi}{2}, u vai de 0 a 1. Então