Questão 3 ( 3.0 pts) Calcule as integrais:
\int_{D}(x+y+1)(x-y) d A, \quad D : regiāo limitada por |x|+|y| \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(x+y+1)(x-y)\,dA,
onde D é a região limitada por |x|+|y|\leq 1.
Informações dadas e o que se pede:
  • Região D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid |x|+|y|\leq 1\}. É o losango centrado na origem com vértices em (\pm1,0) e (0,\pm1).
  • A função a integrar é (x+y+1)(x-y).
  • Objetivo: calcular o valor numérico da integral \iint_{D}(x+y+1)(x-y)\,dA.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica do integrando, fazendo a multiplicação:
(x+y+1)(x-y)=(x+y)(x-y)+1\cdot(x-y).
Desenvolvendo (x+y)(x-y) e juntando termos obtemos
(x+y+1)(x-y)=x^2-y^2+x-y.

Passo 3

Usando a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral), escrevemos a integral como soma de quatro integrais:
\iint_{D}(x^2-y^2+x-y)\,dA = \iint_{D}x^2\,dA - \iint_{D}y^2\,dA + \iint_{D}x\,dA - \iint_{D}y\,dA.

Passo 4

Agora tratamos os termos \iint_{D}x\,dA e \iint_{D}y\,dA. Vou explicar por que ambos são zero, usando simetria (isso é muito útil em provas porque evita contas longas).
Propriedade usada (explicada): se uma região D é simétrica em relação ao eixo y (isto é, se (x,y)\in D implica (-x,y)\in D) então qualquer função ímpar em x tem integral zero sobre D. Uma função f(x,y) é ímpar em x quando f(-x,y)=-f(x,y). A prova simples é: dividir a integral em pares de pontos (x,y) e (-x,y); as contribuições somam zero.
No nosso caso:
  • A região D satisfaz: se (x,y)\in D então (-x,y)\in D. Logo D é simétrica em relação ao eixo y.
  • A função x é ímpar em x porque (-x)= -x.
    Portanto
\iint_{D}x\,dA=0.
De forma análoga, D é simétrica em relação ao eixo x (se (x,y)\in D então (x,-y)\in D), e a função y é ímpar em y, logo
\iint_{D}y\,dA=0.

Passo 5

Ficamos então só com
\iint_{D}x^2\,dA-\iint_{D}y^2\,dA.
Agora usamos outra simetria: a região D é invariante pela troca das coordenadas x\leftrightarrow y (ou seja, se (x,y)\in D então (y,x)\in D). Assim, por substituição de variáveis (troca de nomes), a integral de x^2 sobre D é igual à integral de y^2 sobre D:
\iint_{D}x^2\,dA=\iint_{D}y^2\,dA.
Explicando: aplicar a transformação (x,y)\mapsto (y,x) preserva área e transforma a função x^2 em y^2; como a região é a mesma, os dois valores de integral coincidem.

Passo 6

Pelo passo anterior as duas integrais de quadrados se anulam ao subtrair:
\iint_{D}x^2\,dA-\iint_{D}y^2\,dA=0.
Somando com os termos já anulados ( \iint_{D}x\,dA=0 e \iint_{D}y\,dA=0), concluímos que a integral total é zero.

Passo 7

Comentário rápido de reforço (modo amigo): a ideia central foi usar simetria em vez de calcular direto. Em muitos exercícios de prova essa é a saída mais rápida — expandir o integrando e verificar se existem termos ímpares ou termos que se tornam iguais trocando x por y. Quando você ver regiões como |x|+|y|\leq 1 ou retângulos centrados na origem, pense imediatamente em simetrias.

Resposta

0

Exercícios relacionados