Questão 3 ( 3.0 pts) Calcule as integrais:
: regiāo limitada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada por
.
Informações dadas e o que se pede:
- Região
. É o losango centrado na origem com vértices em e . - A função a integrar é
. - Objetivo: calcular o valor numérico da integral
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão algébrica do integrando, fazendo a multiplicação:
Desenvolvendo
e juntando termos obtemos
Passo 3
Usando a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral), escrevemos a integral como soma de quatro integrais:
Passo 4
Agora tratamos os termos
e
. Vou explicar por que ambos são zero, usando simetria (isso é muito útil em provas porque evita contas longas).
Propriedade usada (explicada): se uma região
é simétrica em relação ao eixo
(isto é, se
implica
) então qualquer função ímpar em
tem integral zero sobre
. Uma função
é ímpar em
quando
. A prova simples é: dividir a integral em pares de pontos
e
; as contribuições somam zero.
No nosso caso:
- A região
satisfaz: se então . Logo é simétrica em relação ao eixo . - A função
é ímpar em porque .
Portanto
De forma análoga,
é simétrica em relação ao eixo
(se
então
), e a função
é ímpar em
, logo
Passo 5
Ficamos então só com
Agora usamos outra simetria: a região
é invariante pela troca das coordenadas
(ou seja, se
então
). Assim, por substituição de variáveis (troca de nomes), a integral de
sobre
é igual à integral de
sobre
:
Explicando: aplicar a transformação
preserva área e transforma a função
em
; como a região é a mesma, os dois valores de integral coincidem.
Passo 6
Pelo passo anterior as duas integrais de quadrados se anulam ao subtrair:
Somando com os termos já anulados (
e
), concluímos que a integral total é zero.
Passo 7
Comentário rápido de reforço (modo amigo): a ideia central foi usar simetria em vez de calcular direto. Em muitos exercícios de prova essa é a saída mais rápida — expandir o integrando e verificar se existem termos ímpares ou termos que se tornam iguais trocando
por
. Quando você ver regiões como
ou retângulos centrados na origem, pense imediatamente em simetrias.
Resposta
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