QUESTÃO4 (2,5 pts.) - Reduza a forma retangular a+i b. Entcontre a forma polar de cada número.
\frac{1}{4-13i}

Passo 1

O enunciado pede para reduzir à forma retangular e depois encontrar a forma polar de
\frac{1}{4 - 13\,i}.
O conteúdo aqui é manipular números complexos: vamos usar racionalização de denominador para chegar à forma a + i b, depois calcular módulo e argumento para a forma polar.

Passo 2

Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 4-13\,i, que é 4+13\,i:
\frac{1}{4-13\,i} = \frac{1}{4-13\,i}\cdot \frac{4+13\,i}{4+13\,i} = \frac{4+13\,i}{(4)^2 + (13)^2} = \frac{4+13\,i}{16 + 169} = \frac{4+13\,i}{185}.

Passo 3

Da fração obtida, separamos a parte real e imaginária:
\frac{1}{4-13\,i} = \frac{4}{185} \;+\; i\,\frac{13}{185}.
Portanto, a forma retangular é
a + i b = \frac{4}{185} + i\,\frac{13}{185}.

Passo 4

Para a forma polar, calculamos o módulo
r = \sqrt{\Bigl(\frac{4}{185}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{13}{185}\Bigr)^2} = \frac{\sqrt{16 + 169}}{185} = \frac{\sqrt{185}}{185} = \frac{1}{\sqrt{185}},
e o argumento
\varphi = \arctan\!\Bigl(\frac{\,\tfrac{13}{185}\,}{\,\tfrac{4}{185}\,}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(\tfrac{13}{4}\Bigr).
Como ambas partes são positivas, \varphi está no primeiro quadrante.

Passo 5

Escrevemos a forma polar usando r e \varphi:
\frac{1}{4-13\,i} = r\bigl(\cos\varphi + i\sin\varphi\bigr) = \frac{1}{\sqrt{185}}\Bigl[\cos\!\bigl(\arctan\tfrac{13}{4}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\arctan\tfrac{13}{4}\bigr)\Bigr].

Resposta

Forma retangular:
\frac{1}{4-13\,i} = \frac{4}{185} + i\,\frac{13}{185}.
Forma polar:
\frac{1}{4-13\,i} = \frac{1}{\sqrt{185}}\bigl[\cos\!\bigl(\arctan\tfrac{13}{4}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\arctan\tfrac{13}{4}\bigr)\bigr].

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