Questão. ( 2,5 pts) A posição de um determinado sistema massa mola satisfaz o seguinte problema de valor inicial
(a) Encontre a posição
da massa.
(b) Interprete a posição da massa no instante
.
(b) Interprete a posição da massa no instante
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Ele pede duas coisas:
(a) encontrar a posição que satisfaz essa equação com as condições iniciais dadas;
(b) interpretar a posição da massa no instante .
(a) encontrar a posição
(b) interpretar a posição da massa no instante
Passo 2
Vamos escolher um método: para equações diferenciais lineares de coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo essa forma na equação homogênea obtemos a equação característica em
:
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
Como
, teremos raízes complexas conjugadas.
Passo 3
Calcule as raízes complexas da característica usando a fórmula quadrática:
Para raízes
a forma geral das soluções reais é
porque
e as combinações lineares reais das duas raízes complexas geram essa expressão real.
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeira condição: . Avaliando a solução em
:
Primeira condição:
Como
, concluímos que
Passo 5
Segunda condição: precisamos de
. Derivando
usando a regra do produto:
Juntando termos:
Passo 6
Substituímos
na expressão de
. Isso simplifica bastante:
Agora usamos a condição inicial
. Avaliando em
:
Portanto
.
Passo 7
Com
e
obtemos a solução particular procurada:
Vou explicar brevemente o que isso significa fisicamente: o fator
mostra que a amplitude decai exponencialmente (amortecimento), e o
mostra que há oscilações com frequência angular
(rad/s). É um oscilador subamortecido que oscila com amplitude que diminui com o tempo.
Passo 8
Agora interpreto a posição no instante
. Calculo
:
Como
, segue que
Para entender o movimento no instante
também é útil ver a velocidade
. Usando a fórmula já obtida para
com
:
Logo
Passo 9
Interpretação física final do item (b): em
a posição é
, ou seja, a massa está exatamente na posição de equilíbrio. Como
(negativa), a massa está cruzando o ponto de equilíbrio no sentido negativo (movendo-se para o lado negativo) com velocidade de magnitude
. O movimento é uma oscilação amortecida com amplitude decrescente devido ao fator
.
Resposta
(a)
(b)
. A massa está na posição de equilíbrio e está atravessando-a no sentido negativo com velocidade
.