{ }^{a} Questão. ( 2,5 pts) A posição de um determinado sistema massa mola satisfaz o seguinte problema de valor inicial
s^{\prime \prime}+2 s^{\prime}+2 s=0 ; \quad s(0)=0 ; \quad s^{\prime}(0)=2
(a) Encontre a posição s=s(t) da massa.
(b) Interprete a posição da massa no instante t=\pi.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
s'' + 2s' + 2s = 0; \qquad s(0)=0; \qquad s'(0)=2.
Ele pede duas coisas:
(a) encontrar a posição s=s(t) que satisfaz essa equação com as condições iniciais dadas;
(b) interpretar a posição da massa no instante t=\pi.

Passo 2

Vamos escolher um método: para equações diferenciais lineares de coeficientes constantes, procuramos soluções da forma s(t)=e^{rt}. Substituindo essa forma na equação homogênea obtemos a equação característica em r:
r^{2}+2r+2=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot 1\cdot 2 = 4-8 = -4.
Como \Delta<0, teremos raízes complexas conjugadas.

Passo 3

Calcule as raízes complexas da característica usando a fórmula quadrática:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i.
Para raízes r=-1\pm i a forma geral das soluções reais é
s(t) = e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
porque e^{(-1\pm i)t}=e^{-t}(\cos t \pm i\sin t) e as combinações lineares reais das duas raízes complexas geram essa expressão real.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeira condição: s(0)=0. Avaliando a solução em t=0:
s(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Como s(0)=0, concluímos que
C_{1}=0.

Passo 5

Segunda condição: precisamos de s'(t). Derivando s(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big) usando a regra do produto:
s'(t) = -e^{-t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big) + e^{-t}\big(-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t\big).
Juntando termos:
s'(t) = e^{-t}\big( -C_{1}\cos t - C_{2}\sin t - C_{1}\sin t + C_{2}\cos t \big).

Passo 6

Substituímos C_{1}=0 na expressão de s'(t). Isso simplifica bastante:
s'(t) = e^{-t}\big( -C_{2}\sin t + C_{2}\cos t\big) = C_{2}\,e^{-t}(\cos t - \sin t).
Agora usamos a condição inicial s'(0)=2. Avaliando em t=0:
s'(0)=C_{2}\,e^{0}(\cos 0 - \sin 0)=C_{2}(1-0)=C_{2}.
Portanto C_{2}=2.

Passo 7

Com C_{1}=0 e C_{2}=2 obtemos a solução particular procurada:
s(t)=2\,e^{-t}\sin t.
Vou explicar brevemente o que isso significa fisicamente: o fator e^{-t} mostra que a amplitude decai exponencialmente (amortecimento), e o \sin t mostra que há oscilações com frequência angular 1 (rad/s). É um oscilador subamortecido que oscila com amplitude que diminui com o tempo.

Passo 8

Agora interpreto a posição no instante t=\pi. Calculo s(\pi):
s(\pi)=2\,e^{-\pi}\sin \pi.
Como \sin \pi = 0, segue que
s(\pi)=0.
Para entender o movimento no instante t=\pi também é útil ver a velocidade s'(\pi). Usando a fórmula já obtida para s'(t) com C_{2}=2:
s'(t)=2\,e^{-t}(\cos t - \sin t).
Logo
s'(\pi)=2\,e^{-\pi}(\cos \pi - \sin \pi)=2\,e^{-\pi}(-1-0)=-2\,e^{-\pi}.

Passo 9

Interpretação física final do item (b): em t=\pi a posição é 0, ou seja, a massa está exatamente na posição de equilíbrio. Como s'(\pi)=-2\,e^{-\pi} (negativa), a massa está cruzando o ponto de equilíbrio no sentido negativo (movendo-se para o lado negativo) com velocidade de magnitude 2\,e^{-\pi}. O movimento é uma oscilação amortecida com amplitude decrescente devido ao fator e^{-t}.

Resposta

(a) s(t)=2\,e^{-t}\sin t
(b) s(\pi)=0. A massa está na posição de equilíbrio e está atravessando-a no sentido negativo com velocidade s'(\pi)=-2\,e^{-\pi}.

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