Resolução de equação diferencial linear
Vamos resolver a equação diferencial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
. Informação relevante: o termo
e a divisão por
implicam que devemos tomar
(a solução será válida em intervalos onde
não zere).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem. Dividindo ambos os lados por
(lembrando
) obtemos
Agora a equação está na forma
com
e
.
Passo 3
Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Mini-aula prática: para uma ODE linear de primeira ordem
o fator integrante
é definido por
A razão é que multiplicando a equação por
a parte esquerda se torna a derivada do produto
:
Assim podemos integrar ambos os lados e resolver para
.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
. Calculamos o integral
Logo o fator integrante é
Passo 5
Multiplicamos a equação padronizada por
. O lado esquerdo fica a derivada exata:
O lado direito fica
Portanto temos
Passo 6
Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante de integração. Observação didática: a integral
não tem primitiva elementar simples em termos das funções usuais; em prova é perfeitamente aceitável deixar essa integral indicada. Se necessário, pode-se expressá-la por séries ou por funções especiais, mas não é exigido aqui.
Passo 7
Isolando
, obtemos a solução geral: