Resolução de equação diferencial linear
\text { resolva } x . d y / d x-4 y / x=x^{\wedge} 6 e^{\wedge} x
Vamos resolver a equação diferencial:
x \frac{d y}{d x}-\frac{4 y}{x}=x^{6} e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}-\frac{4y}{x}=x^{6}e^{x}
e pede para encontrar a solução geral y(x). Informação relevante: o termo \dfrac{4y}{x} e a divisão por x implicam que devemos tomar x\neq 0 (a solução será válida em intervalos onde x não zere).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem. Dividindo ambos os lados por x (lembrando x\neq 0) obtemos
\frac{dy}{dx}-\frac{4}{x^{2}}\,y = x^{5} e^{x}.
Agora a equação está na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
com P(x)=-\dfrac{4}{x^{2}} e Q(x)=x^{5}e^{x}.

Passo 3

Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Mini-aula prática: para uma ODE linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
A razão é que multiplicando a equação por \mu(x) a parte esquerda se torna a derivada do produto \mu(x)\,y:
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\Big(\frac{dy}{dx}+P y\Big).
Assim podemos integrar ambos os lados e resolver para y.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: P(x)=-\dfrac{4}{x^{2}}. Calculamos o integral
\int P(x)\,dx=\int -4x^{-2}\,dx = -4\cdot(-x^{-1})=\frac{4}{x}.
Logo o fator integrante é
\mu(x)=e^{4/x}.

Passo 5

Multiplicamos a equação padronizada por \mu(x)=e^{4/x}. O lado esquerdo fica a derivada exata:
e^{4/x}\frac{dy}{dx}-\frac{4}{x^{2}}e^{4/x}y=\frac{d}{dx}\big(y\,e^{4/x}\big).
O lado direito fica
x^{5}e^{x}\,e^{4/x}=x^{5}e^{x+4/x}.
Portanto temos
\frac{d}{dx}\big(y\,e^{4/x}\big)=x^{5}e^{x+4/x}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em x:
y\,e^{4/x}=\int x^{5}e^{x+4/x}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Observação didática: a integral \displaystyle\int x^{5}e^{x+4/x}\,dx não tem primitiva elementar simples em termos das funções usuais; em prova é perfeitamente aceitável deixar essa integral indicada. Se necessário, pode-se expressá-la por séries ou por funções especiais, mas não é exigido aqui.

Passo 7

Isolando y, obtemos a solução geral:
y(x)=e^{-4/x}\left(\int x^{5}e^{x+4/x}\,dx + C\right).

Resposta

y(x)=e^{-4/x}\left(\int x^{5}e^{x+4/x}\,dx + C\right)

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