Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para representar graficamente o domínio dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função usa o logaritmo natural
. - O argumento do logaritmo é
. - Preciso determinar todos os pontos
no plano onde a função está definida (ou seja, onde o tem entrada válida).
Passo 2
Condição necessária para o logaritmo estar definido: o logaritmo natural
está definido apenas para
.
Mini-aula prática: quando eu escrevo eu estou pedindo o número cujo exponencial (base
) dá
. Isso só faz sentido como número real se
for positivo. Portanto, devemos exigir que o argumento da função seja estritamente maior que zero.
Mini-aula prática: quando eu escrevo
Passo 3
Aplicando essa condição ao nosso caso: devemos ter
Agora manipulo essa desigualdade para ficar mais simples. Somando
aos dois lados e multiplicando por
(operações que preservam a desigualdade porque multiplicamos por número positivo):
Passo 4
Interpretação geométrica da desigualdade
.
Mini-aula prática: a equação descreve um círculo de centro na origem
e raio
. Aqui, igualando, teríamos
Mini-aula prática: a equação
ou seja um círculo centrado em
de raio
Portanto a desigualdade
descreve todos os pontos do plano cuja distância à origem é maior que
— isto é, a região exterior a esse círculo.
Passo 5
Forma alternativa (polar) para entender melhor: em coordenadas polares
temos
. A condição fica
Ou seja, para qualquer ângulo
eu preciso de
. Isso reforça: o domínio é o exterior do círculo de raio
.
Passo 6
Como representar graficamente (instruções passo a passo para o esboço):
- Desenhe o eixo
e o eixo perpendiculares no plano. - Marque a origem
. - Desenhe um círculo centrado na origem com raio
. Numericamente, , então marque esse comprimento nos eixos e desenhe a circunferência. - Como a desigualdade é estrita
, a fronteira (o círculo) não faz parte do domínio: desenhe essa circunferência tracejada para indicar que é aberta. - Sombras a região exterior ao círculo (tudo fora da circunferência tracejada). Essa região é o domínio.
Passo 7
Verificações rápidas com pontos concretos (para treinar e checar):
- Ponto
: → pertence ao domínio. - Ponto
: → fica exatamente na fronteira → não pertence (porque é igualdade). - Ponto
: → interior do círculo → não pertence.
Esses exemplos ajudam a fixar mentalmente o que é “fora” e o que é “dentro”.
Passo 8
Observações sobre o comportamento de
na fronteira e no infinito:
- Ao aproximar-se da fronteira (pontos com
), o argumento do tende a , então . Isso explica por que a fronteira não faz parte do domínio: ali o não é finito. - Para
grande, , então cresce como .