Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
z=\ln \left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}-1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função z=\ln\!\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}-1\right) e pede para representar graficamente o domínio dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função usa o logaritmo natural \ln(\cdot).
  • O argumento do logaritmo é \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}-1.
  • Preciso determinar todos os pontos (x,y) no plano onde a função está definida (ou seja, onde o \ln tem entrada válida).

Passo 2

Condição necessária para o logaritmo estar definido: o logaritmo natural \ln(t) está definido apenas para t>0.
Mini-aula prática: quando eu escrevo \ln(t) eu estou pedindo o número cujo exponencial (base e) dá t. Isso só faz sentido como número real se t for positivo. Portanto, devemos exigir que o argumento da função seja estritamente maior que zero.

Passo 3

Aplicando essa condição ao nosso caso: devemos ter
\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}-1>0.
Agora manipulo essa desigualdade para ficar mais simples. Somando 1 aos dois lados e multiplicando por 2 (operações que preservam a desigualdade porque multiplicamos por número positivo):
x^{2}+y^{2}>2.

Passo 4

Interpretação geométrica da desigualdade \;x^{2}+y^{2}>2\;.
Mini-aula prática: a equação \;x^{2}+y^{2}=R^{2}\; descreve um círculo de centro na origem (0,0) e raio R. Aqui, igualando, teríamos
x^{2}+y^{2}=2,
ou seja um círculo centrado em (0,0) de raio
R=\sqrt{2}.
Portanto a desigualdade x^{2}+y^{2}>2 descreve todos os pontos do plano cuja distância à origem é maior que \sqrt{2} — isto é, a região exterior a esse círculo.

Passo 5

Forma alternativa (polar) para entender melhor: em coordenadas polares x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta temos x^{2}+y^{2}=r^{2}. A condição fica
r^{2}>2\quad\Longleftrightarrow\quad r>\sqrt{2}.
Ou seja, para qualquer ângulo \theta eu preciso de r>\sqrt{2}. Isso reforça: o domínio é o exterior do círculo de raio \sqrt{2}.

Passo 6

Como representar graficamente (instruções passo a passo para o esboço):
  1. Desenhe o eixo x e o eixo y perpendiculares no plano.
  2. Marque a origem (0,0).
  3. Desenhe um círculo centrado na origem com raio \sqrt{2}. Numericamente, \sqrt{2}\approx 1,414, então marque esse comprimento nos eixos e desenhe a circunferência.
  4. Como a desigualdade é estrita >, a fronteira (o círculo) não faz parte do domínio: desenhe essa circunferência tracejada para indicar que é aberta.
  5. Sombras a região exterior ao círculo (tudo fora da circunferência tracejada). Essa região é o domínio.

Passo 7

Verificações rápidas com pontos concretos (para treinar e checar):
  • Ponto (2,0): x^{2}+y^{2}=4>2 → pertence ao domínio.
  • Ponto (1,1): x^{2}+y^{2}=2 → fica exatamente na fronteira → não pertence (porque é igualdade).
  • Ponto (1,0): x^{2}+y^{2}=1<2 → interior do círculo → não pertence.
    Esses exemplos ajudam a fixar mentalmente o que é “fora” e o que é “dentro”.

Passo 8

Observações sobre o comportamento de z na fronteira e no infinito:
  • Ao aproximar-se da fronteira (pontos com x^{2}+y^{2}\to 2^{+}), o argumento do \ln tende a 0^{+}, então z=\ln(\cdot)\to -\infty. Isso explica por que a fronteira não faz parte do domínio: ali o \ln não é finito.
  • Para r grande, \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}-1\sim \tfrac{r^{2}}{2}, então z cresce como \ln(r^{2}/2)\sim 2\ln r-\ln 2.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}>2\}

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