Questāo 2 (6 pts): Resolva.
(b) Calcule \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right).

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0} x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve \cos\!\left(\frac{1}{x}\right), que está definida para todo x\neq 0. O limite é tomado quando x tende a 0 (ponto onde a função \cos(1/x) oscila muito).
  • Sabemos que a função \cos é limitada entre -1 e 1: para todo t,
-1 \le \cos(t) \le 1.
A partir disso vamos trabalhar para encontrar o valor do limite pedido.

Passo 2

Usar a propriedade de que \cos é limitada. Substituindo t=\dfrac{1}{x} (válido para x\neq 0) obtemos
-1 \le \cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.
Agora multiplicamos essa desigualdade por x^{2}. Observação importante: x^{2}\ge 0 para todo x, então a ordem das desigualdades não se inverte ao multiplicar por x^{2}. Assim:
- x^{2} \le x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) \le x^{2}.

Passo 3

Calcular os limites das funções que “sanduicham” a função original. São funções simples:
\lim_{x\rightarrow 0} (-x^{2}) = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\rightarrow 0} x^{2} = 0,
pois x^{2} é um polinômio que tende a 0 quando x\to 0. Então os limites das duas funções bounding são ambos 0.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche). Ele diz: se para todo x próximo de 0 vale
g(x)\le f(x)\le h(x),
e
\lim_{x\to 0} g(x)=\lim_{x\to 0} h(x)=L,
então \lim_{x\to 0} f(x)=L. No nosso caso
g(x)=-x^{2},\quad f(x)=x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right),\quad h(x)=x^{2},
e ambos \lim g(x) e \lim h(x) valem 0. Portanto, pelo Teorema do Confronto,
\lim_{x\rightarrow 0} x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.

Passo 5

(Prova alternativa no mesmo espírito, via valor absoluto — útil para a prova.)
Usando |\cos|\le 1 temos
\left|x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le x^{2}.
Como \lim_{x\to 0} x^{2}=0, segue que o limite do valor absoluto é 0, e assim o limite da função também é 0.

Passo 6

(Epsilon–delta rápido, se você quiser um argumento formal tipo prova.)
Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\sqrt{\varepsilon}. Se |x|<\delta então
\left|x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le x^{2}<\delta^{2}=\varepsilon.
Logo, por definição de limite, \lim_{x\to 0} x^{2}\cos\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • \lim_{x\to 0} x\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=0, pois |x\cos(1/x)|\le |x| e \lim_{x\to 0}|x|=0.
  • Se em vez de x^{2} tivéssemos uma função que não tende a 0 (por exemplo constante), o limite não existiria necessariamente por causa da oscilação de \cos(1/x). A chave aqui é que o fator x^{2} faz a amplitude das oscilações ir a 0.

Resposta

0

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