Questāo 2 (6 pts): Resolva.
(a) Se
para
, encontre
.
(a) Se
Passo 1
O enunciado nos dá a desigualdade
válida para
. A pergunta é: encontrar
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A desigualdade vale numa vizinhança de
(porque está no intervalo ). - Não é dito se
está definida; a questão pede apenas o limite quando se aproxima de .
Passo 2
Calcular o limite da função que aparece como limite inferior:
.
Explicação didática: polinômios e funções lineares são contínuos em todo ponto real, o que significa que o limite quando
é obtido simplesmente substituindo
. Formalmente, por propriedades de limite (soma e multiplicação por constante),
Portanto,
Passo 3
Calcular o limite da função que aparece como limite superior:
.
Explicação didática: potências polinomiais também são contínuas, então podemos substituir
. Usando a propriedade de limite para potências,
Passo 4
Enunciar o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche), que será usado para concluir o valor do limite.
Enunciado do teorema: se existem funções
,
e
tais que, numa vizinhança de
com possível exclusão de
,
e se
então
Breve justificativa intuitiva: se
e
“apertam”
entre elas e ambas se aproximam do mesmo valor
,
não pode escapar desse arredor de
quando
se aproxima de
, logo o limite de
também é
.
Passo 5
Aplicar o Teorema do Confronto ao nosso problema.
Temos, por hipótese,
para
perto de
. Pelos Passos 2 e 3 já vimos que
Como os limites das funções que confrontam
são iguais e valem
, o Teorema do Confronto garante que
Comentário final e encorajamento: note que isso vale mesmo que
não esteja definida — o limite depende apenas do comportamento de
para
próximos de
. Boa! Isso é um exemplo clássico e bem útil para a prova: sempre que conseguir dois limites iguais que apertam a função, pronto — limite encontrado.